Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

N
−¬
Γ, ¬ A `
Γ ` A
.
N ∨
− ∨
+
¡
¢
−
¡
¢
RA
(−¬)
DP
N
+ `
Γ ` B
Γ, A ` B
.
Γ, A
1
, A
2
` B
Γ, A
2
, A
1
` B
N
Σ
1
, . . . , Σ
l
Rl(N)
l > 1
1. Èñ÷èñëåíèå N íàòóðàëüíîãî òèïà                                91

              Γ, ¬ A `
     (−¬)              .
                Γ ` A
   Ïðèâåä¼ííûå ïðàâèëà íàçûâàþò îñíîâíûìè èëè ëîãè÷åñêèìè . Îíè
ôîðìàëèçóþò îïðåäåë¼ííûå ñïîñîáû ðàññóæäåíèé, ïðèäàâàÿ ñîîòâåò-
ñòâóþùèå ñâîéñòâà çíàêàì âûâîäèìîñòè è ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê. Ïåðâûå
äâå òðîéêè ïðàâèë îòðàæàþò ñâîéñòâà ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê N è ∨ ñîîò-
âåòñòâåííî. Ïîñëåäíåå èç íèõ (− ∨) ôîðìàëèçóåò äîêàçàòåëüñòâî ðàç-
áîðîì ñëó÷àåâ : åñëè ïðè âûïîëíåíèè íåêîòîðûõ óñëîâèé ñïðàâåäëèâî
õîòÿ áû îäíî èç äâóõ óòâåðæäåíèé, ïðè÷¼ì èç êàæäîãî, âîçìîæíî ïðè
ñïðàâåäëèâîñòè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé, ñëåäóåò íåêîòî-
ðûé ôàêò, òî åãî ìîæíî ñ÷èòàòü ñïðàâåäëèâûì ïðè âûïîëíåíèè âñåõ
äàííûõ óñëîâèé, áåçîòíîñèòåëüíî ê ðàññìîòðåííîé ïàðå óòâåðæäåíèé.
              ¡
Ïðàâèëî (+ ¢) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òåîðåìó î äåäóêöèè. Ïîä÷åðêí¼ì,
÷òî DT ÿâëÿåòñÿ çäåñü íå ìåòàòåîðåìîé, êàê â ãèëüáåðòîâñêèõ èñ÷èñ-
ëåíèÿõ, à ïîñòóëèðóåìûì â âèäå ñïåöèàëüíîãî ïðàâèëà óòâåðæäåíè-
                  ¡
åì. Ïðàâèëî (− ¢) åñòü GMP. Ïðàâèëî RA ôîðìàëèçóåò ðàññóæäåíèå
ìåòîäîì ¾ïðèâåäåíèÿ ê íåëåïîñòè¿2 : åñëè èç ïðèíÿòîé ñîâîêóïíîñòè
ãèïîòåç âûâîäèòñÿ íåêîòîðîå óòâåðæäåíèå è åãî îòðèöàíèå, çíà÷èò ýòà
ñîâîêóïíîñòü ïðîòèâîðå÷èâà. Ïðàâèëî (−¬) ôîðìàëèçóåò ¾ðàññóæäå-
íèÿäîêàçàòåëüñòâî îò ïðîòèâíîãî: åñëè ïðèíÿòèå îòðèöàíèÿ ðàññìàò-
ðèâàåìîãî óòâåðæäåíèÿ âåä¼ò ê ïðîòèâîðå÷èþ, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â
äàííûõ óñëîâèÿõ óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî (ñð. ñ ïðèíöèïîì äåäóêöèè
DP íà c. 24).
   Êðîìå ëîãè÷åñêèõ, â ÈÑ N èìååòñÿ ñëåäóþùåå ñòðóêòóðíîå ïðà-
âèëî äîáàâëåíèÿ ãèïîòåçû :
                Γ ` B
     (+ `)               .
              Γ, A ` B
Ïðèìåíåíèå äàííîãî ïðàâèëà îáû÷íî ñïåöèàëüíî íå îãîâàðèâàþò. Çà-
ìåòèì, ÷òî ìû îáõîäèìñÿ áåç îáû÷íî äîïîëíèòåëüíî ïðèâëåêàåìîãî
ïðàâèëà ïåðåñòàíîâêè ãèïîòåç
          Γ, A1 , A2 ` B
                         ,
          Γ, A2 , A1 ` B
ïîñêîëüêó ñëåâà îò çíàêà âûâîäèìîñòè ïðåäïîëàãàåòñÿ ìóëüòèìíîæå-
ñòâî (à íå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü) ôîðìóë.
Îïðåäåëåíèå 3.2. Ëèíåéíûì âûâîäîì â N íàçûâàåòñÿ êîíå÷íàÿ ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòü Σ1 , . . . , Σl ñåêâåíöèé òàêàÿ, ÷òî êàæäûé ýëåìåíò
ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åñòü ëèáî àêñèîìà, ëèáî ïðÿìî ñëåäóåò èç êà-
êèõ ëèáî ïðåäûäóùèõ ñåêâåíöèé ïî îäíîìó èç ïðàâèë Rl(N ). Çíà÷åíèå
l > 1 åñòü äëèíà ëèíåéíîãî âûâîäà.
  2 ëàò. reductio ad absurdum

Страницы