Математические основы защиты информации. Ишмухаметов Ш.Т - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Спаривание Вейля-Тейта 115
чем вычислять дискретный логарифм, полезно знать, найдется ли такое
m, что Q = mP . Эту проверку можно выполнить, используя следующее
утверждение:
Теорема 6.1. Для произвольной т.Q ∈ EC(F
q
k
) найдется число m такое,
что Q = mP в том и только в том случае, если выполняются два условия:
1. nQ = ∞,
2. e(P, Q) = 1.
6.3. Дивизоры
Построение отображения Вейля и родственного ему отображения
Тейта основано на теории дивизоров (делителей) алгебраических кривых,
разработанной Андре Вейлем. Приведем здесь основные сведения из этой
теории. Более подробный материал можно найти в книге Л. Вашингтона [36].
Идея понятия дивизора основано на том наблюдении, что
коэффициенты любого полинома можно вычислить с точностью до
ненулевого множителя, зная корни этого многочлена и их кратность.
Действительно, если многочлен P (x) имеет своими корнями кратности r
i
элементы x
i
, то
P (x) = a ·
∏
(x −x
i
)
r
i
.
В нашем случае класс изучаемых функций состоит из дробно-
рациональных функций над эллиптическими кривыми, т.е. отношений двух
многочленов от двух переменных x и y , определенных на точках некоторой
эллиптической кривой.
Пусть теперь E : y
2
= x
3
+ax+b–эллиптическая кривая над полем K ,
а f(x, y) : E → K –дробно-рациональная функция. Если f – не константа, то
существует не более конечного числа точек P ∈ E , в которых f(P ) = 0 или
f(P ) = ∞. Точки первого вида называются нулями функции f , а второго –
полюсами f .
С точностью до ненулевого множителя функцию f можно задать,
перечисляя все ее нули и полюсы и задавая их кратность. Если f имеет нуль
Спаривание Вейля-Тейта                                                     115

чем вычислять дискретный логарифм, полезно знать, найдется ли такое
m, что Q = mP . Эту проверку можно выполнить, используя следующее
утверждение:

Теорема 6.1. Для произвольной т.Q ∈ EC(Fqk ) найдется число m такое,
что Q = mP в том и только в том случае, если выполняются два условия:
      1. nQ = ∞,
      2. e(P, Q) = 1.


6.3. Дивизоры
      Построение отображения Вейля и родственного ему отображения
Тейта основано на теории дивизоров (делителей) алгебраических кривых,
разработанной Андре Вейлем. Приведем здесь основные сведения из этой
теории. Более подробный материал можно найти в книге Л. Вашингтона [36].
      Идея     понятия     дивизора    основано   на   том   наблюдении,   что
коэффициенты любого полинома можно вычислить с точностью до
ненулевого множителя, зная корни этого многочлена и их кратность.
Действительно, если многочлен P (x) имеет своими корнями кратности ri
элементы xi , то
                          ∏
               P (x) = a · (x − xi )ri .

      В нашем случае класс изучаемых функций состоит из дробно-
рациональных функций над эллиптическими кривыми, т.е. отношений двух
многочленов от двух переменных x и y , определенных на точках некоторой
эллиптической кривой.
      Пусть теперь E : y 2 = x3 +ax+b–эллиптическая кривая над полем K ,
а f (x, y) : E → K –дробно-рациональная функция. Если f – не константа, то
существует не более конечного числа точек P ∈ E , в которых f (P ) = 0 или
f (P ) = ∞. Точки первого вида называются нулями функции f , а второго –
полюсами f .
      С точностью до ненулевого множителя функцию f можно задать,
перечисляя все ее нули и полюсы и задавая их кратность. Если f имеет нуль

Страницы