Математические основы защиты информации. Ишмухаметов Ш.Т - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Глава 3. Эллиптические кривые 89
P + Q = (X
1
, Y
1
, Z
1
) + (x
2
, y
2
) = (X
3
, Y
3
, Z
3
).
T = x
2
Z
1
, A = Y
1
− y
2
Z
1
, B = X
1
− T,
A
2
= A
2
, B
2
= B
2
, B
3
= B
3
T
3
= B
2
T, F = A
2
Z
1
− B
3
− 2T
3
,
X
3
= BF
Y
3
= A(T
3
− F ) − B
3
Y
1
,
Z
3
= B
3
Z
1
(5.47)
Стоимость последнего сложения равна 9M+2S. Это на 21, 4%
меньше, чем стоимость сложения в обычных проективных координатах.
Отметим, что при вычислении кратного kP можно взять исходную точку
в афинных координатах, а вычисления производить, используя формулы
для смешанного суммирования. Такое суммирование эффективно, когда
множитель k достаточно велик и операция добавления точки P при
вычислении kP выполняется многократно.
Приведем здесь ссылку на базу данных формул для операций удвоения
и сложения для различных представлений эллиптических кривых [5]:
http:// hyperelliptic.org/EFD
5.3. Эллиптические кривые в якобиановых проективных
координатах
Ускорение операции вычисления кратного точки можно получить, используя
проективные якобиановы координаты. Точка в этой системе координат точки
является классом
(X : Y : Z) = {(λ
2
x, λ
3
y, λ) |λ ∈ F
p
}, (5.48)
который соответствует афинной точке (X/Z
2
, Y/Z
3
). Уравнение
эллиптической кривой в якобиановых координатах имеет вид
Y
2
= X
3
+ aXZ
4
+ bZ
6
(5.49)
Приведем сначала формулы для удвоения и сложения точек в
якобиановых координатах из презентации П.Лонги и А.Мири ([26]) (см.также
[27]).
Глава 3. Эллиптические кривые                                                          89

          P + Q = (X1 , Y1 , Z1 ) + (x2 , y2 ) = (X3 , Y3 , Z3 ).
              
              
               T = x2 Z1 , A = Y1 − y2 Z1 , B = X1 − T,
              
              
              
               A2 = A2 , B 2 = B 2 , B 3 = B 3
              
              
              
               T = B T, F = A Z − B − 2T ,
                   3      2           2   1    3       3
                                                                                    (5.47)
               
                X3 = BF
               
               
               
               
               
                Y3 = A(T3 − F ) − B3 Y1 ,
               
               
                 Z3 = B3 Z1
          Стоимость последнего сложения равна 9M+2S. Это на 21, 4%
меньше, чем стоимость сложения в обычных проективных координатах.
Отметим, что при вычислении кратного kP можно взять исходную точку
в афинных координатах, а вычисления производить, используя формулы
для смешанного суммирования. Такое суммирование эффективно, когда
множитель k достаточно велик и операция добавления точки P при
вычислении kP выполняется многократно.
          Приведем здесь ссылку на базу данных формул для операций удвоения
и сложения для различных представлений эллиптических кривых [5]:
http:// hyperelliptic.org/EFD


5.3. Эллиптические кривые в якобиановых проективных
         координатах
Ускорение операции вычисления кратного точки можно получить, используя
проективные якобиановы координаты. Точка в этой системе координат точки
является классом

         (X : Y : Z) = {(λ2 x, λ3 y, λ) |λ ∈ Fp },                                  (5.48)

который        соответствует      афинной      точке       (X/Z 2 , Y /Z 3 ).   Уравнение
эллиптической кривой в якобиановых координатах имеет вид

                 Y 2 = X 3 + aXZ 4 + bZ 6                                           (5.49)

          Приведем сначала формулы для удвоения и сложения точек в
якобиановых координатах из презентации П.Лонги и А.Мири ([26]) (см.также
[27]).

Страницы