Изучение законов колебаний маятника. - 2 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Рубрика: 

Теория.
Математическим маятником называется материальная точка массой
m
, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити. На практике
приближением к такому маятнику служит подвешенный на тонкой нити
шарик, диаметр которого
d
значительно меньше длины нити
l
(
l
d <<
), а
масса шарика много больше массы нити.
Будучи отклоненным от положения равновесия, шарик может совершать
колебательные движения в плоскости отклонения. В этом случае на шарик
действуют две силы: сила тяжести gmP
r
r
= , направленная вертикально, и
сила натяжения нити
H
F
r
. Силу тяжести можно разложить на две взаимно
перпендикулярные составляющие
cos
1
PP
=
и
α
sin
2
PP
=
(см. рис.1), одна
из которых направлена вдоль нити, а вторая – перпендикулярно нити. Первая
из них будет в точности уравновешена силой натяжения нити (
H
FP
=
1
), так
как нить не рвется и движения вдоль направления нити нет. Согласно
второму закону Ньютона ускорение, приобретенное телом, равно
геометрической сумме действующих сил (т.е. силе
2
P ), деленной на массу
тела, и будет направлено перпендикулярно нити. Таким образом
m
P
dt
dV
2
= (1)
Так как шарик движется по окружности радиуса
l
(длина нити) с центром
в точке подвеса нити, то за некоторое время
dt
он будет проходить путь,
равный длине дуги
α
ld
ds
=
, где
αd
- изменение угла (выраженного в
радианах) между вертикалью и направлением нити. Тогда скорость движения
шарика по окружности может быть записана в виде
dt
d
l
dt
ds
V
α
== (2)
Если угол отклонения нити от положения равновесия мал (
6
/
π
α
<
), то
α
α
≈
sin
и
α
mgP
≈
2
. Тогда, подставляя значение скорости, определенной
соотношением (2), в уравнение (1), получаем дифференциальное уравнение
для функции
)(t
α
:
α
α
l
g
dt
d
−=
2
2
(3)
Прямой подстановкой легко проверить, что данному уравнению
удовлетворяет решения вида
)2sin(
T
t
C πα =
, где используется обозначение
g
l
T π2= (4)
Так как тригонометрические функции синус и косинус являются
периодическими (т.е. не изменяют своего значения при изменении аргумента
на величину
π
2
), то легко заметить, что величина
T
является периодом
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                Теория. Математическим маятником называется материальная точка массой
                m , подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити. На практике
                приближением к такому маятнику служит подвешенный на тонкой нити
                шарик, диаметр которого d значительно меньше длины нити l ( d << l ), а
                масса шарика много больше массы нити.
                   Будучи отклоненным от положения равновесия, шарик может совершать
                колебательные движения в плоскости
                                                 r отклонения.   В этом случае на шарик
                                                      r
                действуют две силы: сила тяжести P = mg , направленная вертикально, и
                                         r
                сила натяжения нити FH . Силу тяжести можно разложить на две взаимно
                перпендикулярные составляющие P1 = P cos α и P2 = P sin α (см. рис.1), одна
                из которых направлена вдоль нити, а вторая – перпендикулярно нити. Первая
                из них будет в точности уравновешена силой натяжения нити ( P1 = FH ), так
                как нить не рвется и движения вдоль направления нити нет. Согласно
                второму закону Ньютона ускорение, приобретенное телом, равно
                геометрической сумме действующих сил (т.е. силе P2 ), деленной на массу
                тела, и будет направлено перпендикулярно нити. Таким образом
                    dV P2
                        =                                             (1)
                     dt    m
                   Так как шарик движется по окружности радиуса l (длина нити) с центром
                в точке подвеса нити, то за некоторое время dt он будет проходить путь,
                равный длине дуги ds = ldα , где dα - изменение угла (выраженного в
                радианах) между вертикалью и направлением нити. Тогда скорость движения
                шарика по окружности может быть записана в виде
                        ds    dα
                   V=      =l                                         (2)
                        dt    dt
                Если угол отклонения нити от положения равновесия мал ( α < π / 6 ), то
                sin α ≈ α и P2 ≈ mgα . Тогда, подставляя значение скорости, определенной
                соотношением (2), в уравнение (1), получаем дифференциальное уравнение
                для функции α (t ) :
                    d 2α      g
                         = −    α                                      (3)
                    dt 2      l
                Прямой подстановкой легко проверить, что данному уравнению
                                                          t
                удовлетворяет решения вида α = C sin(2π ) , где используется обозначение
                                                          T
                             l
                   T = 2π                                             (4)
                             g
                Так как тригонометрические функции синус и косинус являются
                периодическими (т.е. не изменяют своего значения при изменении аргумента
                на величину 2π ), то легко заметить, что величина T является периодом



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы