Применение эллиптических кривых в криптографии. Жданов О.Н - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СибГАУ | Красноярск

Составители: 

Рубрика: 

Пары
()
yx, , удовлетворяющие тождеству (1), называются точками эллиптической
кривой Е; х и у – соответственно x- и y-координатами точки.
Точки эллиптической кривой будем обозначать
(
)
yxQ , или просто Q. Две точки
эллиптической кривой равны, если равны их соответствующие x- и y-координаты.
На множестве всех точек эллиптической кривой Е введем операцию сложения, ко-
торую будем обозначать знаком «+». Для двух произвольных точек
()
111
, yxQ и
(
)
222
, yxQ
эллиптической кривой Е рассмотрим несколько вариантов.
Пусть координаты точек
1
Q и
2
Q удовлетворяют условию
21
xx ≠ . В этом случае
их суммой будем называть точку
(
)
333
, yxQ , координаты которой определяются сравне-
ниями
(
)
()()
)4(
,mod
,mod
1313
21
2
3
⎩
⎨
⎧
−−=
−−=
pyxxy
pxxx
λ
λ
где
()
p
xx
yy
mod
12
12
−
−
=
λ
.
Если выполнены равенства
21
xx
=
и 0
21
≠
=
yy , то определим координаты точки
3
Q следующим образом:
(
)
()()
)5(
,mod
,mod2
1313
1
2
3
⎩
⎨
⎧
−−=
−=
pyxxy
pxx
λ
λ
где
()
p
y
ax
mod
2
3
1
2
1
+
=
λ
.
В случае, когда выполнено условие
21
xx
=
и
(
)
pyy mod
21
−
≡
, сумму точек
1
Q и
2
Q будем называть нулевой точкой O, не определяя ее x- и y-координаты. В этом случае
точка
2
Q называется отрицанием точки
1
Q . Для нулевой точки O выполнены равенства
)6(,QQOOQ
=
+
=
+
где Q – произвольная точка эллиптической кривой Е.
Относительно введенной операции сложения множество всех точек эллиптической
кривой Е, вместе с нулевой точкой, образуют конечную абелеву (коммутативную) группу
порядка m, для которого выполнено неравенство
)7(.2121 ppmpp ++≤≤−+
Точка Q называется точкой кратности k, или просто кратной точкой эллиптической
кривой Е, если для некоторой точки Р выполнено равенство
)8(.kPPPQ
k
=
+
+
=
43421
K
5.2. Параметры цифровой подписи.
Параметрами схемы цифровой подписи являются:
- простое число р – модуль эллиптической кривой, удовлетворяющее неравенству
255
2>p . Верхняя граница данного числа должна определяться при конкретной реализа-
ции схемы цифровой подписи;
- эллиптическая кривая Е, задаваемая своим инвариантом
()
EJ или коэффициен-
тами
p
Fba ∈,
;
- целое число m – порядок группы точек эллиптической кривой Е;
- простое число q – порядок циклической подгруппы группы точек эллиптической
кривой Е, для которого выполнены следующие условия:
)9(;
22
1,,
256254
⎩
⎨
⎧
<<
≥∈=
q
nZnnqm

Страницы