Решение задач в Excel на VBA. Применение программных средств в проектировании автомобильных конструкций. Калядин В.И. - 25 стр.

  1.5. Решение переопределѐнной системы n линейных
       уравнений с m неизвестными (n > m)

Задача С. Дана переопределѐнная система n линей-                                 
                                                                             Fc  y 
ных уравнений Fc  y с m (n  m) неизвестными
(см. рис. 1.4). Решить еѐ, т.е. найти такие c0 , c1 ,                          1 с0  0  с1  0
                                                                               
чтобы несоответствия между правой и левой частя-                               1 с0  1 с1  0
ми    уравнений    было    наименьшим      (вектор                             1 с  2  с  1
                                                                             0           1
Δ  Fc  y невязок имел минимальную длину).                                         Рис. 1.4.

                                                                                               
  Метод решения (метод наименьших квадратов). Уравнения F  c  y (на-
зываемые уравнениями наблюдений) можно записать в виде

      1    1             0      1         0          0
      1           с                                   
           2   1   0                                                          
                                    1  c1   1   c2   0   F1  c1  F2  c2  y ,
                   с
      1   3  2  1         1
                                    
                                                2
                                                
                                                            1
                                                             
                                     где F j означает вектор - j-столбец матрицы
                                     (т.е. первый индекс «  » пробегает все значе-
                                     ния номеров строк). Изобразим на рис. 1.5
                                     координатную систему, по осям которой бу-
                                     дем откладывать каждую из трех координат
                                     векторов-столбцов.
                                                   
                                     Векторы v  Fc  F1  c1  F2  c2 при различ-
                                     ных c1, c2 лежат в плоскости  , определяе-
                                                                 
                           мой векторами F1 , F2 . Вектор Δ  Fc  y -
        Рис. 1.5.                                                     
                           это вектор, соединяющий концы векторов y
                                                                  
и v (вспомним правила сложения векторов Δ  y  v ). При каком v
                                
(каких c1 ,c2 ) длина вектора Δ наименьшая? Очевидно, что кратчай-
                                    
шим расстоянием от конца вектора y до плоскости  будет перпенди-
                                                           
куляр, опущенный из этой точки на плоскость. Вектор Δ* , совпадаю-
щий с этим перпендикуляром, будет наименьшим, и ему соответствует
                                                25