ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
1.5.10 Ло ги ка пре ди ка тов
Мы рас смот ре ли опи са ние ло ги ки вы ска зы ва ний с по мо щью таб -
лиц ис тин но сти. Од на ко не ко то рые ло ги че ские рас су ж де ния не мо гут
быть осу ще ст в ле ны в рамках логики высказываний.
На при мер:
а) Вся кий друг Ива на есть друг Пет ра. Си дор не есть друг Пет ра.
Сле до ва тель но, Си дор не есть друг Ивана.
б) Про стое чис ло 2 — чет ное. Сле до ва тель но, су ще ст ву ют про -
стые чет ные числа.
Кор рект ность этих умо зак лю че ний ос но ва на на внут рен ней струк -
ту ре пред ло же ний и на смыс ле слов «вся кий» и «су ще ст ву ет».
1) Со дер жа тель ная часть вы ска зы ва ния, ко то рая иг ра ет роль оп -
ре де ляю ще го свой ст ва со во куп но сти объ ек тов, и для ко то рых это вы -
ска зы ва ние ис тин но, на зы ва ет ся пре ди ка том.
При меры:
а) Вы ска зы ва ние «Ива нов — от лич ник» или ис тин но, или лож -
но — это про стое вы ска зы ва ние.
б) «х — от лич ник» — это пре ди кат, ко то рый оп ре де ля ет под мно -
же ст во от лич ни ков на не ко то ром мно же ст ве студентов.
Под ста вив вме сто х фа ми лии сту ден тов, по лу чим мно же ст во вы -
ска зы ва ний — ис тин ных или лож ных. Со во куп ность ис тин ных вы ска -
зы ва ний и бу дет со от вет ст во вать подмножеству отличников.
Та ким об ра зом пре ди ка том P(x
1
... x
n
) на зы ва ет ся функ ция, пе ре -
мен ные ко то рой при ни ма ют зна че ния из не ко то ро го мно же ст ва M, а са ма
она при ни ма ет два зна че ния: ис тин но или лож но: P(x
1
... x
n
) : M
n
® {И,Л}.
Пре ди кат от n ар гу мен тов на зы ва ет ся n-ме ст ным пре ди ка том:
P
(n)
(x
1
... x
n
). Вы ска зы ва ние — это нуль-ме ст ный пре ди кат. Пре ди ка ты
обо зна ча ют ся боль ши ми бу к ва ми ла тин ско го ал фа ви та. Над пре ди ка та -
ми мож но про из во дить обыч ные ло ги че ские опе ра ции. В ре зуль та те по -
лу ча ют ся но вые пре ди ка ты.
При мер. Пусть P
(1)
(x) — пре ди кат «x де лит ся на 2», а Q
(1)
(x) — пре -
ди кат «x де лит ся на 3». То гда вы ра же ние P
(1)
(x) & Q
(1)
(x) оз на ча ет пре ди -
кат «x де лит ся на 2 и х де лит ся на 3», то есть оп ре де ля ет пре ди кат де ли -
мо сти на 6.
48
1.5.10 Логика предикатов
Мы рассмотрели описание логики высказываний с помощью таб-
лиц истинности. Однако некоторые логические рассуждения не могут
быть осуществлены в рамках логики высказываний.
Например:
а) Всякий друг Ивана есть друг Петра. Сидор не есть друг Петра.
Следовательно, Сидор не есть друг Ивана.
б) Простое число 2 — четное. Следовательно, существуют про-
стые четные числа.
Корректность этих умозаключений основана на внутренней струк-
туре предложений и на смысле слов «всякий» и «существует».
1) Содержательная часть высказывания, которая играет роль оп-
ределяющего свойства совокупности объектов, и для которых это вы-
сказывание истинно, называется предикатом.
Примеры:
а) Высказывание «Иванов — отличник» или истинно, или лож-
но — это простое высказывание.
б) «х — отличник» — это предикат, который определяет подмно-
жество отличников на некотором множестве студентов.
Подставив вместо х фамилии студентов, получим множество вы-
сказываний — истинных или ложных. Совокупность истинных выска-
зываний и будет соответствовать подмножеству отличников.
Таким образом предикатом P(x1 ... xn) называется функция, пере-
менные которой принимают значения из некоторого множества M, а сама
она принимает два значения: истинно или ложно: P(x1 ... xn) : M n ® {И,Л}.
Предикат от n аргументов называется n-местным предикатом:
(n)
P (x1 ... xn). Высказывание — это нуль-местный предикат. Предикаты
обозначаются большими буквами латинского алфавита. Над предиката-
ми можно производить обычные логические операции. В результате по-
лучаются новые предикаты.
Пример. Пусть P (1)(x) — предикат «x делится на 2», а Q(1)(x) — пре-
дикат «x делится на 3». Тогда выражение P (1)(x) & Q(1)(x) означает преди-
кат «x делится на 2 и х делится на 3», то есть определяет предикат дели-
мости на 6.
48
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- …
- следующая ›
- последняя »
