Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Для нахождения энергетического функционала необходимо усред-
нить оператор (7.1) по функциям (7.16) (они уже нормированы на еди-
ницу):
J
1s
2
(Z
∗
) = hH
(0)
1
i + hH
(0)
2
i + hV
12
i,
Очевидно, что
hH
(0)
1
i = hT
1
i − Ze
2
hr
−1
1
i,
где
ˆ
T
1
= −
}
2
2µ
∇
2
1
(см. (7.2)).
Средние значения hT
1
i и hr
−1
1
i можно вычислить без дифференциро-
вания и интегрирования, так как (7.16) является собственной функци-
ей гамильтониана, отличающегося от (7.2) заменой Z → Z
∗
. Восполь-
зовавшись теоремой о вириале (выполнить все вычисления самостоя-
тельно), получим, что hH
(0)
1
i =
1
2
Z
∗2
− ZZ
∗
E
a
. Поскольку оба элек-
трона эквивалентны (их одночастичные конфигурации одинаковы), то
hH
(0)
2
i = hH
(0)
1
i.
Значение hV
12
i отличается от ∆E
1s
2
, найденного в предыдущей за-
даче, заменой Z → Z
∗
: hV
12
i =
5
8
Z
∗
E
a
.
Мы получаем следующее выражение для энергетического функци-
онала:
J
1s
2
(Z
∗
) =
Z
∗2
− 2ZZ
∗
+
5
8
Z
∗
E
a
,
которое достигает минимума при Z
∗
= Z −
5
16
. Несложное вычисление
дает вариационное значение энергии основного состояния
E
1s
2
= J
1s
2
(Z
∗
)|
Z
∗
=Z−
5
16
= −
Z −
5
16
2
E
a
,
отличающееся от результата (7.13), полученного по теории возмущений,
при малых Z. Каждый электрон движется в поле заряда Z
∗
e, меньшего
по сравнению с Ze за счет экранировки. Данный эффект оказывается
существенным именно при малых значениях Z.
Обратим внимание на то, что даже при “правильном” значении
Z функция (7.16) не является собственной функцией гамильтониа-
на (7.1). Но этого и не требует вариационный метод. Просто при
Z
∗
= Z −
5
16
функция (7.16) будет наиболее близкой к точной, ана-
литический вид которой неизвестен.
Вычислим теперь первый потенциал ионизации:
I =
1
2
Z
2
−
5
4
Z +
25
128
E
a
. (7.17)
67
   Для нахождения энергетического функционала необходимо усред-
нить оператор (7.1) по функциям (7.16) (они уже нормированы на еди-
ницу):
                                  (0)     (0)
                  J1s2 (Z ∗ ) = �H1 � + �H2 � + �V12 �,
Очевидно, что
                          (0)
                       �H1 � = �T1 � − Ze2 �r1−1 �,
           �2 2
где T̂1 = −   ∇ (см. (7.2)).
           2µ 1
    Средние значения �T1 � и �r1−1 � можно вычислить без дифференциро-
вания и интегрирования, так как (7.16) является собственной функци-
ей гамильтониана, отличающегося от (7.2) заменой Z → Z ∗ . Восполь-
зовавшись теоремой о вириале (выполнить
                                   �           все
                                                 � вычисления самостоя-
                            (0)       1 ∗2
тельно), получим, что �H1 � =           Z − ZZ ∗ Ea . Поскольку оба элек-
                                      2
трона эквивалентны (их одночастичные конфигурации одинаковы), то
   (0)      (0)
�H2 � = �H1 �.
    Значение �V12 � отличается от ΔE1s2 , найденного в предыдущей за-
                                  5
даче, заменой Z → Z ∗ : �V12 � = Z ∗ Ea .
                                  8
    Мы получаем следующее выражение для энергетического функци-
онала:                          �                   �
                                                5 ∗
                   J1s2 (Z ) = Z − 2ZZ + Z Ea ,
                          ∗        ∗2       ∗
                                                8
                                               5
которое достигает минимума при Z ∗ = Z − . Несложное вычисление
                                               16
дает вариационное значение энергии основного состояния
                                              �        �2
                                                     5
              E1s2 = J1s2 (Z )|Z ∗ =Z− 5 = − Z −
                              ∗
                                                          Ea ,
                                         16         16
отличающееся от результата (7.13), полученного по теории возмущений,
при малых Z. Каждый электрон движется в поле заряда Z ∗ e, меньшего
по сравнению с Ze за счет экранировки. Данный эффект оказывается
существенным именно при малых значениях Z.
   Обратим внимание на то, что даже при “правильном” значении
Z функция (7.16) не является собственной функцией гамильтониа-
на (7.1). Но этого и не требует вариационный метод. Просто при
           5
Z∗ = Z −      функция (7.16) будет наиболее близкой к точной, ана-
           16
литический вид которой неизвестен.
   Вычислим теперь первый потенциал ионизации:
                          �                 �
                        1         5     25
                    I=      Z2 − Z +          Ea .             (7.17)
                        2         4     128

                                   67

Страницы