Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 5 стр.

Глава 1.

Квазиклассическое приближение

1.1.   Волновая функция в квазиклассическом при-
       ближении
    Аналитическое решение стационарного уравнения Шредингера су-
ществует лишь для весьма ограниченного круга потенциалов (осцилля-
торный, кулоновский и некоторые другие). В большинстве же случаев
требуется численное интегрирование соответствующего дифференци-
ального уравнения. Однако для сильно возбужденных состояний ча-
стицы, находящейся в потенциальной яме, когда волновая функция
быстро осциллирует (вспомним вид волновых функций осциллятора
и атома водорода с большими квантовыми числами; фактически об
этом же говорится и в осцилляционной теореме), решение уравнения
Шредингера все же может быть получено с достаточной точностью в
аналитической форме, если использовать некоторые дополнительные
предположения. Для достаточно высоких и широких потенциальных
барьеров произвольной формы величина коэффициента прохождения
также может быть найдена аналитически.
    Прежде всего заметим, что сильно возбужденные системы по своим
свойствам являются почти классическими, или квазиклассическими,
поскольку в этом случае классическое действие по порядку величины
значительно превосходит постоянную Планка }. Тем не менее, предель-
ный переход } → 0 в самом уравнении Шредингера смысла не име-
ет. Он осуществляется с помощью так называемого квазиклассического
приближения, или метода Вентцеля – Крамерса – Бриллюэна (ВКБ).
Суть метода состоит в представлении волновой функции в виде
                                    
                                     i
                           Ψ = exp     S
                                     }

и разложении действия S в ряд по степеням малого параметра }/i (i на-
писано для удобства). В дальнейшем для простоты ограничимся рас-
смотрением одномерной задачи, т.к. для нее данный метод разработан
наиболее полно.
   Волновая функция частицы с заданной энергией E в поле U (x) с



                                 5