Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Математическое приложение
А. Интеграл вероятности
Вычислим вначале интеграл Пуассона
P =
Z
+∞
−∞
e
−x
2
dx.
Возведем его в квадрат и преобразуем к двойному интегралу:
P
2
=
Z
+∞
−∞
e
−x
2
dx
2
=
Z
+∞
−∞
e
−x
2
dx
Z
+∞
−∞
e
−y
2
dy =
=
Z
+∞
−∞
Z
e
−x
2
−y
2
dx dy.
Если последний интеграл рассматривать в декартовых координатах, то
заменой переменных x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, dx dy = r dr dϕ его можно
привести к полярным координатам:
P
2
=
Z
2π
0
dϕ
|
{z }
2π
Z
∞
0
e
−r
2
r dr = π
Z
∞
0
e
−t
dt
|
{z }
1
= π.
Таким образом,
P =
Z
+∞
−∞
e
−x
2
dx =
√
π. (А.1)
Из (А.1) следует, что
P (α) =
Z
+∞
−∞
e
−αx
2
dx =
r
π
α
. (А.2)
n-кратное дифференцирование (А.2) по параметру α приводит к сле-
дующему результату:
Z
+∞
−∞
x
2n
e
−x
2
dx =
−
∂
∂α
n
P (α)
α=1
=
(2n − 1)!!
2
n
√
π. (А.3)
61
Математическое приложение


А.       Интеграл вероятности
     Вычислим вначале интеграл Пуассона
                             � +∞
                                     2
                         P =      e−x dx.
                                                      −∞

Возведем его в квадрат и преобразуем к двойному интегралу:
          ��   +∞                  �2       �   +∞                  �   +∞
                        −x2                              −x2                       2
  P =2
                    e         dx        =            e         dx             e−y dy =
               −∞                               −∞                      −∞
                                                                                   �     +∞�
                                                                                                     2
                                                                                                         −y 2
                                                                              =                e−x              dx dy.
                                                                                       −∞

Если последний интеграл рассматривать в декартовых координатах, то
заменой переменных x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, dx dy = r dr dϕ его можно
привести к полярным координатам:
                 � 2π     � ∞              � ∞
                               −r 2
            P =
              2
                       dϕ     e r dr = π        e−t dt = π.
                 � 0 �� � 0                � 0 �� �
                               2π                                                  1

Таким образом,
                                                �   +∞
                                                               2             √
                                        P =              e−x dx =             π.                                   (А.1)
                                                    −∞

     Из (А.1) следует, что
                                                �    +∞
                                                                              �
                                                                   2               π
                               P (α) =                    e−αx dx =                  .                             (А.2)
                                                    −∞                             α
n-кратное дифференцирование (А.2) по параметру α приводит к сле-
дующему результату:
     � +∞              �     �n       �
                  2        ∂          �      (2n − 1)!! √
           x2n e−x dx = −       P (α)��    =              π. (А.3)
      −∞                  ∂α           α=1      2 n



                                                          61

Страницы