Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 24 стр.

 Доказательство. Т.к.                                 Kerϕ ⊆ V             , то         dim Kerϕ ≤ dim V < ∞ ,               т.е. Ker φ
– конечномерно. Выберем базис                                         e1 ,..., em   пространства Ker φ                               и до-
полним его до базиса                         e1 ,..., em , em+1 ,..., en        всего пространства V. Тогда
любой вектор w, принадлежащий Im φ, можно представить в виде:
                                              n                   n                        n
                                 w = ϕ(     ∑ α i e i ) = ∑ α i ϕ (e i ) =
                                             i =1             i =1
                                                                                         ∑ α ϕ (e ) .
                                                                                        i = m +1
                                                                                                   i      i



 Проверим, что ϕ (em+1 ),...,ϕ (en ) образует базис образа Im φ . Предпо-

                                 ∑                                                                     ϕ (∑i = m +1 α i ei ) = 0 ,
                                     n                                                                        n
ложим,               что                     α ϕ (e i ) = 0 .
                                     i = m +1 i
                                                                            Тогда                                                     т.е.

∑                                                   ∑             α i ei = ∑i =1 α i ei
    n                                                   n                           m
   i = m +1
              α i ei ∈ Kerϕ .   Поэтому                i = m +1
                                                                                                   . Но линейная зависи-

мость между базисными векторами возможна только в том случае,
когда все коэффициенты равны нулю. В частности, α m+1 = ... = α n = 0 ,
т.е. ϕ (em+1 ),...,ϕ (en ) – линейно независимы. Итак, вектора ϕ (em+1 ),..., ϕ (en )
образуют базис образа Im φ и dim k Imφ = n–m= dim k V – dim k Ker
φ . Что и требовалось доказать.


 2.           Матрица линейного оператора


 Зафиксируем два базиса v1 ,..., vn и w1 ,..., wm в пространствах V и W
соответственно. Тогда для ϕ ∈ Homk (V , W ) выполнены соотношения:
                                         ϕ (v1 ) = a11 w1 + a 21 w2 + ... + a m1 wm
                                                    LLLLLLLLLL
                                         ϕ (v n ) = a1n w1 + a 2 n w2 + ... + a mn wm

                           ⎡ a11 K a1n ⎤
 Матрица              Aϕ = ⎢ LL ⎥              называется матрицей линейного оператора
                           ⎢a m1 K a mn ⎥
                           ⎣            ⎦

φ. Приведенную систему соотношений можно заменить одним мат-
ричным: (ϕ (v1 ),..., ϕ ( vn )) = ( w1 ,..., wm ) Aϕ , где произведение в правой час-

ти вычисляется по обычному правилу умножения матриц.