ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Глава 1. Линейное пространство
1. Линейное пространство
В различных разделах математики и физики часто встречается си-
туация, когда с некоторой совокупностью объектов можно произво-
дить операции сложения и умножения на скаляр. Причем эти опера-
ции всегда обладают рядом одинаковых свойств. Выделяя эти об-
щие свойства, приходим к следующему определению линейного
(векторного)
пространства.
Определение 1.1. Множество V называется линейным (вектор-
ным) пространством над полем k, а его элементы векторами, если
а) на V задана бинарная операция V ×V → V, обычно называемая
сложением: (v
1
, v
2
) → v
1
+ v
2
, удовлетворяющая следующим аксио-
мам:
Ia) v
1
+ v
2
= v
2
+ v
1
(коммутативность)
IIa) (v
1
+ v
2
)+v
3
=v
1
+ (v
2
+v
3
) (ассоциативность)
IIIa) существует такой нейтральный элемент 0, называемый ну-
левым вектором, что v+0=v, для любого v
∈
V;
IV a) для любого вектора v
∈
V существует вектор v’ ∈V такой,
что v+v’=0. Вектор v’ называют противоположным вектором и
обозначают - v.
Перечисленные аксиомы означают, что множество V является абе-
левой аддитивной группой.
б) на множестве k×V задана операция (λ,v) → λv
∈
V, называемая
умножением вектора на скаляр, удовлетворяющая еще четырем
аксиомам:
Iб) λ(v
1
+v
2
)= λv
1
+ λv
2
IIб) (α+β)v=αv+βv
λ,α,β
∈ k, v,v
1
,v
2
∈ V; (аксиомы дистрибутивности)
Глава 1. Линейное пространство 1. Линейное пространство В различных разделах математики и физики часто встречается си- туация, когда с некоторой совокупностью объектов можно произво- дить операции сложения и умножения на скаляр. Причем эти опера- ции всегда обладают рядом одинаковых свойств. Выделяя эти об- щие свойства, приходим к следующему определению линейного (векторного) пространства. Определение 1.1. Множество V называется линейным (вектор- ным) пространством над полем k, а его элементы векторами, если а) на V задана бинарная операция V ×V → V, обычно называемая сложением: (v1, v2) → v1+ v2, удовлетворяющая следующим аксио- мам: Ia) v1+ v2= v2+ v1 (коммутативность) IIa) (v1+ v2)+v3=v1+ (v2+v3) (ассоциативность) IIIa) существует такой нейтральный элемент 0, называемый ну- левым вектором, что v+0=v, для любого v ∈ V; IV a) для любого вектора v ∈ V существует вектор v’ ∈ V такой, что v+v’=0. Вектор v’ называют противоположным вектором и обозначают - v. Перечисленные аксиомы означают, что множество V является абе- левой аддитивной группой. б) на множестве k×V задана операция (λ,v) → λv ∈ V, называемая умножением вектора на скаляр, удовлетворяющая еще четырем аксиомам: Iб) λ(v1+v2)= λv1+ λv2 IIб) (α+β)v=αv+βv λ,α,β ∈ k, v,v1,v2 ∈ V; (аксиомы дистрибутивности)
