Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 35 стр.

 5. Сопряженное (двойственное) пространство


 Обозначим через V * совокупность линейных функций на простран-
стве        V,          то     есть      используя           введенные             ранее     обозначения
V * = Homk (V , k ) . Введем операции сложения и умножения на кон-

станты для элементов из V * по правилу: ( f + g )(v ) = f (v ) + g (v ) ,
(λf )(v ) = λf (v ) ,        f , g ∈ V * , λ ∈ k , v ∈ V . Легко проверить, что относитель-

но введенных операций множество V * становится векторным про-
странством над полем k . Это пространство и называют сопряжен-
ным или двойственным к пространству V.
 Теорема 5.1. Пусть V конечномерное линейное пространство над
полем k . Тогда dim k V * = dim k V .


 Доказательство. Обозначим через n размерность пространст-
ва V . Зафиксируем некоторый базис e1 ,..., en этого пространства. Т.к.
любая линейная функция однозначно определяется своими значе-
ниями на базисе , то рассмотрим набор функций λi ∈ V * , i = 1,..., n , оп-
ределенных условиями:
                                                            ⎧1, i = j
                                                 λi (e j ) = ⎨        .
                                                            ⎩0, i ≠ j
 Тогда любая функция λ ∈ V * выражается через функции λi , i = 1,..., n
                                   n
по формуле λ = ∑ λ (ei )λi . Действительно, для любого вектора
                                  i =1

      n
v = ∑ ai ei ∈ V имеем
     i =1


                                                   ⎛   n
                                                                 ⎞    n
                                         λ (v ) = λ ⎜ ∑ ai ei ⎟ = ∑ ai λ (ei ) ,
                                                   ⎝ i =1        ⎠   i =1



             ( ∑ λ (e j )λ j )(v ) = ∑ λ (e j )λ j (v ) = ∑ λ (e j )∑ ai λ j (ei ) = ∑ λ (e j )a j .
                 n                       n                   n               n        n


                 j =1                    j =1                j =1           i =1      j =1