Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 42 стр.

 Тогда       соответствие x w → x w + U определяет изоморфизм между

подпространством W и факторпространством V U .

 Обобщением этого примера является следующая
 Теорема 7.1. Пусть V = U ⊕ W - прямая сумма подпространств
U , W ⊂ V . Тогда отображение ϕ : w → w + U является изоморфизмом

между пространствами W и V U .

 Доказательство. Во-первых, отметим, что ϕ — линейное
отображение. Действительно,
ϕ (α 1 w1 + α 2 w2 ) = (α 1 w1 + α 2 w2 ) + U = (α 1 w1 + U ) + (α 2 w2 + U ) =

                     = α 1 ( w1 + U ) + α 2 ( w2 + U ) = α 1ϕ ( w1 ) + α 2ϕ ( w2 ) .

 Во-вторых, ϕ -сюрьекция. Ибо для любого класса v + U ∈ V U име-

ем: v + U = ( w + u ) + U = w + U , где w + u - разложение вектора v . Сле-
довательно, ϕ ( w) = w + U = v + U .
 Наконец, если ϕ ( w) = 0 , то w + U = U , т.е. w ∈ U . Но W ∩ U = 0 и по-
тому w = 0 . Это доказывает, что отображение ϕ инъективно.
 Линейность и биективность ϕ означает, что ϕ - изоморфизм.

 Следствие 7.1. dimV U = dimV − dimU .

 Доказательство. По теореме 7.4 главы 1 для подпространства
U в пространстве V существует дополнительное подпространство W
такое, что V = U ⊕ W . Тогда dim W = dim V − dim U . Но, по доказанной
теореме, W ~= V U . Следовательно, dimV U = dim W = dimV − dim U .