Линейные операторы. Корешков Н.А. - 95 стр.

                                                          ⎡λ1   0⎤
                                                     Aϕ = ⎢   O     ⎥,
                                                          ⎢0    λn ⎥⎦
                                                          ⎣

 λi ∈ C , n = dim V . Но так как Aϕ = Aϕt = Aϕ , то λi = λi . Т.е. λi ∈ R, i = 1,..., n .
                                                            *




 В случае евклидова пространства канонический вид матрицы Aϕ -

блочно-диагональный, причем на диагонали либо блоки [λi ], либо

блоки   ⎡ a b ⎤, a, b ∈ R .         Опять, используя условие                              Aϕ * = Aϕt = Aϕ ,   получим
        ⎢⎣− b a ⎥⎦

⎡ a b ⎤ = ⎡a − b⎤ .        Откуда b = 0 и, следовательно, Aϕ имеет необходи-
⎢⎣− b a ⎥⎦ ⎢⎣b a ⎦⎥

мый диагональный вид с вещественными параметрами. Проверка
достаточности очевидна.
 8. Приведение квадратичной формы к главным осям


 В главе 4 были рассмотрены два способа (метод Лагранжа и метод
Якоби), которые позволяли получить канонический вид квадратич-
ной формы, используя невырожденные преобразования. Можно су-
зить класс преобразований и рассматривать только ортогональные
преобразования (рассматриваем только случай евклидовых про-
странств). Тогда, как будет показано ниже, квадратичная форма
также приводится к каноническому виду, причем сохраняется гео-
метрия пространства, то есть расстояние между точками и углы ме-
жду векторами.
                       n
 Пусть      q( x) =   ∑a x
                      i =1
                                2
                             ii i   +2   ∑a x x
                                      1≤ i < j ≤ n
                                                     ij i       j   = X t AX    — некоторая квадратичная

форма над полем действительных чисел. Здесь A = [aij ] — симметри-

                                                                ∑
                                                                     n
ческая матрица,              X = ( x1 ,K, xn )t =                        xe
                                                                     i =1 i i
                                                                                , где e1 ,..., en — ортонормиро-

ванный базис, в котором значения соответствующей билинейной
формы       fq    определяются                              элементами                матрицы         A,      то   есть