Численные методы. Корнюшин П.Н. - 5 стр.

                                             5




                  Модуль 1. Введение. Разностные уравнения

                                     1.0. Введение
        Бурное развитие средств вычислительной техники привело к подлинно революционному
преобразованию науки вообще и математики в особенности. Увеличение возможностей
теоретического изучения привело к изменению технологии научных исследований. Решение
крупных научно-исследовательских проблем, таких как проблемы овладения ядерной энергией и
освоения космоса, стало возможным лишь благодаря применению математического
моделирования и новых численных методов, предназначенных для компьютеров.
        В настоящее время можно говорить о появлении нового способа теоретического
исследования сложных процессов, допускающих математическое описание, – вычислительный
эксперимент, т.е. исследование проблем средствами вычислительной математики. Существо этого
способа можно пояснить на примере решения некоторой проблемы.
        На первом этапе формулируется задача, которую надо решать. Сначала выбирается
некоторое приближение или содержательная модель процесса (физического, биологического,
экономического и т.п.), решается вопрос о том, какие факторы надо учесть, а какими можно
пренебречь.
        Содержательной модели ставится в соответствие математическая модель, т.е.
математическое описание процесса с помощью алгебраических, дифференциальных,
интегральных и других уравнений. Полученную математическую модель необходимо исследовать
соответствующими математическими методами. Надо установить, правильно ли поставлена
задача, хватает ли исходных данных, не противоречат ли они друг другу, существует ли решение
поставленной задачи и единственно ли оно. На этом этапе используются методы классической
математики.
        Второй этап вычислительного эксперимента состоит в построении приближенного
численного метода решении задачи, т.е. в выборе вычислительного алгоритма. Под
вычислительным алгоритмом понимают последовательность арифметических и логических
операций, при помощи которых находится приближенное численное решение математической
задачи, сформулированной на первом этапе.
        На третьем этапе осуществляется программирование вычислительного алгоритма и на
четвертом этапе – проведение расчетов на компьютере. Разработка конкретных численных
алгоритмов и их программирование на компьютере достаточно тесно связаны.
        Наконец, в качестве пятого этапа вычислительного эксперимента можно выделить анализ
полученных численных результатов и последующее уточнение математической модели. Может
оказаться, что модель слишком груба – результат вычислений не согласуется с экспериментом,
или что модель слишком сложна, и решение с достаточной точностью можно получить при более
простых моделях. Тогда следует начинать работу с первого этапа, т.е. уточнять математическую
модель, и снова пройти все этапы.
        Следует отметить, что вычислительный эксперимент – это, как правило, не разовый счет
по стандартным формулам, а, прежде всего, расчет серии вариантов для различных
математических моделей.
        Вычислительные алгоритмы имеют некоторые характерные особенности, что определяет
ряд предъявляемых к ним требований. Разработка и исследование вычислительных алгоритмов и
их применение к решению конкретных задач составляют содержание очень большого раздела
современной математики – вычислительной математики. Вычислительную математику в широком
смысле этого термина определяют в настоящее время как раздел информатики, изучающей круг
вопросов, связанных с использованием компьютера, и в узком смысле – как теорию численных
методов и алгоритмов решения поставленных математических задач. В данном курсе будем иметь
в виду вычислительную математику в узком смысле слова.
        Общим для всех численных методов является сведение математической задачи к
конечномерной. Это чаще всего достигается дискретизацией исходной задачи, т.е. переходом от
функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. После дискретизации
исходной задачи надо построить вычислительный алгоритм, т.е. указать последовательность