Логика. Купарашвили М.Д - 17 стр.

ния. Например, в суждении «Иван брат Петра» мыслится двухчленное           Аксиома для антисимметричности: ∀x∀y ( xRy ≡ yRx ) или
отношение, «Москва расположена между Брестом и Кировым» –
трехчленное отношение. Соответственно этому выделяют суждения с      ∀x∀y ( xRy ≠ yRx).
двух-, трех-, n-местными предикатами, где в предикате R фиксиру-           Примерами такого рода отношений, являются, например, отно-
ется определенное отношение, а в субъекте x1, … xn – предметы,       шения «являться мужем», «быть больше».
вступающие в это отношение.                                                Асимметричность – это такие отношения между предмета-
       Структура суждения об отношениях символически записыва-       ми, когда для любых разных предметов x и y данного класса является
ется так:                                                            верным, что если предмет x находится в каком-то отношении к
       R (x1, … xn).                                                 предмету y, то предмет y не находится в этом же отношении к
       В настоящее время наиболее разработанной является теория      предмету x.
двухчленных (бинарных) отношений.                                          Данные отношения имеют место тогда, когда некоторые отно-
                                                                     шения не являются ни симметричными, ни антисимметричными.
                 Свойства бинарных отношений                         Асимметричным отношением является, например, отношение «уха-
                                                                     живать за», – оно не является симметричным и в то же время с необ-
      1. Рефлексивность есть свойство, которое состоит в том, что    ходимостью не является асимметричным.
каждый элемент отношения находится в том же отношении к самому             3. Транзитивность – это свойство отношиний для x, y и z не-
себе.                                                                которого класса, которое устанавливается тогда и только тогда,
      Аксиома для рефлексивности: ∀x∀y ( xRy ) ⊃ ( xRx ∧ yRy ) .     когда x находится в некотором отношении с y и y находится в том
      Рефлексивными отношениями, например, являются отноше-          же отношении к z, а это влечет то, что x находится в том же от-
ния «равенства», «эквивалентности», «тождества» и т. д.              ношении с z.
      Отношение, не удовлетворяющее данному свойству, называется           Аксиома для транзитивности: ∀x∀y∀z ( xRy ∧ yRz ) ⊃ ( xRz ) .
антирефлексивным – когда ни один предмет данного отношения не              Примерами транзитивных отношений являются отношения
находится в этом отношении к самому себе.                            «больше», «равно», «ниже».
      Аксиома для антирефлексивности: ∀x∀y ( xRy ) ⊃ ( xRx ∧ yRy )         В случае, если указанное выше условие не выполняется, отно-
      Антирефлексивными являются, например, отношения «отцов-        шение называется нетранзитивным.
ство», «большинство», «старшинство».                                        Аксиома для нетранзитивности: ∀x∀y∀z ( xRy ∧ yRz ) ⊃ ( xRz ).
      2. Симметричность – это такие отношения, когда для любых              Например, таковыми являются отношения «любить», «ненави-
предметов x и y данного класса является верным то, что если пред-    деть», «зависеть», «владеть».
мет x находится в каком-то отношении к предмету y, то и предмет             4. Эквивалентность – это такие отношения, которые обла-
y находится в этом отношении к предмету x.                           дают свойствами рефлексивности, симметричности и транзитив-
      Аксиома для симметричности: ∀x∀y ( xRy ⊃ yRx ) .               ности. Эквивалентность каких-либо предметов означает их равен-
      Свойством симметричности обладают такие отношения, на-         ство (тождество) в каком-то отношении.
пример, как «равенство», «неравенство», «соседства».                        Эквивалентными являются, например, отношения «равенст-
      Антисимметричность – это такие отношения между пред-           ва», «тождества», «сверстничества».
метами, когда для любых (необязательно разных) предметов x и y              5. Отношения порядка. В математике различают три вида
данного класса является верным, что если предмет x находится в       структур: алгебраические, топологические (сохраняющие непрерыв-
каком-то отношении к предмету y, то предмет y не находится в         ность) и структуры порядка. Отношения порядка обладают свойст-
этом же отношении к предмету x.

                               33                                                                    34