ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
17
Рассмотрим цепь на рис. 1.
С
µA
ε
К
1
2
Рис. 1
Если поставить ключ К в положение 1, то конденсатор С зарядит-
ся от источника тока ε. При перебрасывании ключа в положение 2 кон-
денсатор будет разряжаться через сопротивление R . При зарядке и в
процессе разрядки разность потенциалов на обкладках конденсатора
изменяется со временем, и в цепи течет переменный ток. Найдем зако-
ны изменения
напряжения и силы тока со временем.
2. Процесс зарядки конденсатора
Рассмотрим процесс зарядки конденсатора. Для контура εRCε
выберем направление тока, как показано на рис. 1. Применим для него
второй закон Кирхгофа. Тогда
RI+U=ε, (1)
где I – мгновенное значение силы тока, U – мгновенное значение на-
пряжения на конденсаторе.
C
q
U
= ,
dt
dq
I
= , (2)
где q – заряд конденсатора.
Исключая q и I из (1) и (2), получим уравнение для U:
.
RCRC
U
dt
dU
0=−+
ε
(3)
Введем новую переменную V=U-ε. Тогда из (3) следует:
.
RC
V
dt
dV
0=+
(4)
18
В уравнении (4) переменные разделяются, и в результате инте-
грирования находим:
.eAV
RC
t
−
⋅=
(5)
Постоянная интегрирования А зависит от начальных условий. По-
ложим, что отсчет времени начинается с момента замыкания ключа.
Тогда начальные условия имеют вид:
t=0: U=0, V=-ε, (6)
В этом случае A=-ε.
Возвращаясь к прежней переменной U, находим окончательное
выражение для напряжения на конденсаторе:
).e(U
RC/t−
−ε= 1 (7)
При t = 0 из (7) следует: U=0 в соответствии с условием (6). Из (7)
видно, что с увеличением t напряжение U непрерывно увеличивается и
асимптотически приближается к ЭДС источника. Зависимость зарядно-
го тока от времени, как следует из (1) и (7), имеет вид:
.eIe
RR
U
I
RC/tRC/t −−
=
ε
=
−ε
=
0
(8)
Формула (8) показывает, что ток при зарядке экспоненциально
уменьшается от максимального значения I
o
до нуля.
3. Разрядка конденсатора
Рассмотрим теперь процесс разрядки конденсатора. Перекинем
ключ К в положение 2. Конденсатор начнет разряжаться через сопро-
тивление R . Положительное направление тока в контуре указано стрел-
кой на рис.1. Второй закон Кирхгофа для контура CRC имеет вид:
IR=U. (9)
Кроме того,
C
q
U =
,
dt
dq
I −=
, так как выбранное положительное
направление тока соответствует уменьшению заряда конденсатора. Ис-
ключая из (9) и (10) q и I , получаем:
0
1
=+ U
RCdt
dU
, (11)
откуда
RC
t
BeU
−
=
. (12)
Если нулевой момент времени совпадает с началом процесса раз-
рядки, то начальное условие можно записать в виде:
t=0: U=ε. (13)
Рассмотрим цепь на рис. 1. В уравнении (4) переменные разделяются, и в результате инте-
грирования находим:
t
−
V = A ⋅ e RC . (5)
Постоянная интегрирования А зависит от начальных условий. По-
2 µA С ложим, что отсчет времени начинается с момента замыкания ключа.
Тогда начальные условия имеют вид:
К t=0: U=0, V=-ε, (6)
В этом случае A=-ε.
1 Возвращаясь к прежней переменной U, находим окончательное
ε выражение для напряжения на конденсаторе:
U = ε(1 − e − t / RC ). (7)
При t = 0 из (7) следует: U=0 в соответствии с условием (6). Из (7)
видно, что с увеличением t напряжение U непрерывно увеличивается и
Рис. 1 асимптотически приближается к ЭДС источника. Зависимость зарядно-
Если поставить ключ К в положение 1, то конденсатор С зарядит- го тока от времени, как следует из (1) и (7), имеет вид:
ся от источника тока ε. При перебрасывании ключа в положение 2 кон- ε − U ε − t / RC
I= = e = I 0 e − t / RC . (8)
денсатор будет разряжаться через сопротивление R . При зарядке и в R R
процессе разрядки разность потенциалов на обкладках конденсатора Формула (8) показывает, что ток при зарядке экспоненциально
изменяется со временем, и в цепи течет переменный ток. Найдем зако- уменьшается от максимального значения Io до нуля.
ны изменения напряжения и силы тока со временем.
3. Разрядка конденсатора
2. Процесс зарядки конденсатора
Рассмотрим теперь процесс разрядки конденсатора. Перекинем
Рассмотрим процесс зарядки конденсатора. Для контура εRCε ключ К в положение 2. Конденсатор начнет разряжаться через сопро-
выберем направление тока, как показано на рис. 1. Применим для него тивление R . Положительное направление тока в контуре указано стрел-
второй закон Кирхгофа. Тогда кой на рис.1. Второй закон Кирхгофа для контура CRC имеет вид:
RI+U=ε, (1) IR=U. (9)
где I – мгновенное значение силы тока, U – мгновенное значение на- q dq
Кроме того, U = , I = − , так как выбранное положительное
пряжения на конденсаторе. C dt
q dq направление тока соответствует уменьшению заряда конденсатора. Ис-
U= , I= , (2)
C dt ключая из (9) и (10) q и I , получаем:
где q – заряд конденсатора. dU 1
+ U=0, (11)
Исключая q и I из (1) и (2), получим уравнение для U: dt RC
dU U
+ −ε = 0. (3)
откуда
t
dt RC RC −
U = Be RC . (12)
Введем новую переменную V=U-ε. Тогда из (3) следует:
Если нулевой момент времени совпадает с началом процесса раз-
dV V
+ = 0. (4) рядки, то начальное условие можно записать в виде:
dt RC t=0: U=ε. (13)
17 18
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
