Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

2.3. Aksiomatiqeskie isqisleni vyskazyvani$i
Aksiomatiqeski$i metod postroeni teorii byl vpervye pri-
menen v geometrii Evklidom, a zatem, v hode istoriqeskogo
razviti znani$i, stal priment~s v drugih razdelah mate-
matiki i, v qastnosti, v matematiqesko$i logike. V aksioma-
tiqesko$i teorii isqisleni vyskazyvani$i pod vyskazyvaniem
ponimaets formula dl bulevo$i funkcii, no ponti ”isti-
na”, ”tavtologi” ne opredelts. Vmesto nih zadaets na-
bor nekotoryh formul, obvlemyh aksiomami. Iz aksiom i
ishodnyh formul — dopuweni$i s pomow~ pravil vyvoda,
podobnyh tem, kotorye byli rassmotreny ranee, stroits pos-
ledovatel~nost~ formul, nazyvaema (formal~nym) vyvodom iz
dopuweni$i. Cel~ aksiomatiqesko$i teorii vlets ustanov-
lenie vyvodimyh vyskazyvani$i. Vybira aksiomy i pravila
vyvoda, mono postroit~ razliqnye logiki. Nas budet intere-
sovat~ tol~ko klassiqeskoe isqislenie vyskazyvani$i
. No i dl
klassiqeskogo isqisleni vyskazyvani$i aksiomy i pravila vy-
voda mono vybrat~ mnogimi sposobami.
Rassmotrim snaqala isqislenie vyskazyvani$i IV, harakte-
rizuemoe dest~ shemami aksiom i odnim pravilom vyvoda.
Opredelenie 2.4 (Shemy aksiom IV).
Shemami aksiom isqisle-
ni vyskazyvani$i IV vlts:
AS
1
A →
(
B
→
A) ,
AS
2
(
A
→
B)
→
((A → (
B
→
C)) →
(
A
→
C
))
,
AS
3
A
→
(B →
A∧B)
,
AS
4
A
∧B
→
A ,
AS
5
A
∧B
→ B ,
AS
6
A → A ∨
B ,
AS
7
B → A ∨
B ,
AS
8
(
A
→
C)
→ ((B
→
C
) →
(
A
∨ B
→
C)) ,
AS
9
(
A
→ B) → ((A
→
B) → A) ,
AS
10
A → A ,
gde A, B, C
— proizvol~nye vyskazyvani. Formuly AS
1
— AS
10
opredelt beskoneqnoe mnoestvo aksiom, poluqaemyh putem
podstanovki vmesto
A, B, C konkretnyh vyskazyvani$i i poto-
mu ti formuly nazyvats shemami aksiom.
Bol~xoe koliqestvo shem aksiom obsnets bol~xim
koliqestvom logiqeskih znakov, k kotorym oni otnosts:
∨,
∧
, ,
→
. Otsutstvie aksiom otnoswihs k kvivalencii,
obsnets tem, qto formula A ∼ B
ponimaets kak sokrawen-
noe oboznaqenie dl
(A
→ B)
∧
(B → A)
.
22

Страницы