Электромагнетизм. Лабораторные работы. Ляшенко А.М - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

энергия растянутой (или сжатой) пружины переходит в кинетическую энергию движущегося груза. В случае
электромагнитных колебаний в контуре при разряде конденсатора его электрическая энергия переходит в энергию
магнитного поля тока в катушке. В реальных случаях часть энергии расходуется на, так называемые, диссипативные
процессы. Так, при колебаниях груза амплитуда уменьшается со временем вследствие трения, излучения, т.е. отдачи
энергии во внешнюю среду, которую возмущает колеблющейся груз, и других явлений. Амплитуда электромагнитных
колебаний также уменьшается вследствие потерь энергии из-за нагрева активного сопротивления, которое всегда
присутствует (катушка имеет омическое сопротивление) и излучения электромагнитных волн, так как контур не является
идеально закрытым. При небольших частотах колебаний последним фактором можно пренебречь. В результате
электромагнитные колебания, так же как и механические будут затухающими.
Для нахождения уравнения, описывающего характер электромагнитных колебаний в реальном колебательном контуре,
можно воспользоваться законом изменения энергии контура во времени
tRdI
LI
C
q
d
2
22
22
−=
+
, (2)
где
C
q
2
2
– энергия электрического поля в конденсаторе;
2
2
LI
– энергия магнитного поля в катушке индуктивности; RdtI
2
–
тепловая энергия, выделяющаяся в активном сопротивлении контура за время
dt .
Учитывая, что
dt
dq
I =
, из уравнения (2) получаем дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний
0
1
2
2
=++ q
LCdt
dq
L
R
dt
qd
или, введя обозначения
2
0
1
ω=
L
C
– квадрат собственной круговой частоты колебаний в контуре; β
2
=
L
R
– коэффициент
затухания, получим окончательно уравнение в виде
,0β2
2
0
=ω++ qqq
&&&
(3)
которое при условии
2
0
2
ωβ <
имеет следующее решение
(
)
0
β
0
cos ϕ+ω=
−
teqq
t
, (4)
где
)(
0
tqeq
t
=
β−
– амплитуда колебаний заряда конденсатора в момент времени t;
0
q – значение заряда при 0
=
t ;
0
ϕ
–
начальная фаза колебаний. Круговая частота затухающих колебаний,
,βωω
22
0
−= отличающаяся от частоты собственных
колебаний
0
ω , определяет условный период этих колебаний
2
2
4
1
2
2
L
R
LC
T
−π=
ω
π
= , (5)
где R, L и C – активное сопротивление контура, индуктивность катушки и емкость конденсатора соответственно.
Затухание колебаний характеризуется величиной, называемой логарифмическим декрементом затухания:
()
()
,ln T
Ttq
tq
β=
+
=δ
(6)
или с учетом выражений для
β
и T
4
4
1
2
2
2
R
C
L
R
L
R
LC
LR −π=
−π=δ
. (7)
В технике качество колебательной системы характеризуется так называемой добротностью θ контура. Добротностью
называют физическую величину равную произведению числа π на количество полных колебаний N, в течение которых
амплитуда уменьшается в e раз. Из условия
e
eq
eq
NTt
t
=
+−
−
)β(
0
β
0
находим
T
N
β
=
1
. Тогда
C
L
RT
1
δ
π
β
π
===θ
. (8)
В случае, когда
2
0
2
ω≥β
, т.е.
LC
L
R 1
4
2
2
≥ выражение для периода колебаний
2
2
4
1
2
L
R
LC
T
−
π
=
теряет смысл и
периодический процесс в контуре переходит в апериодический, при этом сопротивление контура
C
L
R 2
кр
= (9)
называется
критическим.
Характер изменения заряда (напряжения) на обкладках конденсатора или тока в катушке индуктивности при
затухающих колебаниях и апериодическом разряде изображены на рис. 2 а, б.
а) б)
q
0
T =
NT
q
q
ω
2π
=T
t
t
q(t)
q(t + T)

Страницы