Определение момента инерции конструкции методом физического маятника. Меденцов Л.Ф. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

где d = ОС - расстояние между точкой подвеса и центром масс
(плечо силы
1
F
).
По второму закону динамики для вращательного движения
2
2
dt
d
JJM
ϕ
ε
=⋅= , (2)
где J - момент инерции маятника относительно оси О,
ε
- угловое ускорение.
Из формул (1) и (2) имеем:
ϕ
ϕ
⋅−= dgm
dt
d
J
2
2
. (3)
Поскольку при малых углах выполняется условие
ϕ
ϕ
=sin
, то
d
х
=
ϕ
, где х - линейное смещение центра масс от положения
равновесия.
Подставляя
ϕ
в формулу (3), получаем x
J
d
gm
dt
xd
−=
2
2
.
(4)
Линейная зависимость ускорения от смещения
соответствует условию гармонического колебания, поэтому
решением этого дифференциального уравнения является
уравнение:
)(sin
0
ϕ
ω
+
= tАx или )(cos
0
ϕ
ω
+
=
tАx . (5)
При
J
d
mg=
2
ω
и
T
π
ω
2
=
момент инерции тела может быть
выражен формулой:
2
2
4
π
Tdgm
J
э
= . (6)
Если n - число полных колебаний маятника за время t , то
T =
n
t
, поэтому получается
22
2
4 n
tdgm
J
э
π
= . (7) 
где d = ОС - расстояние между точкой подвеса и центром масс
(плечо силы F1 ).
     По второму закону динамики для вращательного движения
                                     d 2ϕ
                         M = J ⋅ε = J 2 ,                           (2)
                                     dt
где J - момент инерции маятника относительно оси О,
    ε - угловое ускорение.
                               d 2ϕ
Из формул (1) и (2) имеем: J        = − m g d ⋅ϕ .      (3)
                               dt 2
Поскольку при малых углах выполняется условие sin ϕ = ϕ , то
       х
ϕ=       , где х - линейное смещение центра масс от положения
       d
равновесия.
                                                    d 2x       d
      Подставляя ϕ в формулу (3), получаем             2
                                                         = −m g x .
                                                    dt         J
(4)
       Линейная зависимость ускорения от смещения
соответствует условию гармонического колебания, поэтому
решением этого дифференциального уравнения является
уравнение:
        x = А sin (ω t + ϕ0 ) или x = А cos (ω t + ϕ0 ) . (5)
             d       2π
При      ω 2 = mg
                и ω=    момент инерции тела может быть
             J       T
                              mgdT2
выражен формулой:        Jэ =         .        (6)
                                4π 2
      Если n - число полных колебаний маятника за время t , то
      t
T=      , поэтому получается
      n
                                       m g d t2
                                Jэ =            .             (7)
                                       4π 2n2

Страницы