Составители:
Рубрика:
95
Приложение №2
Структура интегрального исчисления
функции одной переменной
В интегральном исчислении
Дано:
)()( xfxF =
′
. Найти
∫
=+ dxxfCxF )()(
,
)(xF
- первообразная
Несобственные
интегралы I рода:
∫
=
∫
+∞
+∞→
=
b
a
Adxxf
a
b
dxxf )(lim)(
Несобственные
интегралы II рода: если
в точке х = а функция
терпит разрыв, то
A
c
b
dxxf
ab
c
a
dxxf =
∫
+→
=
∫
)(
0
lim)(
.
Если А - число ⇒ несоб-
ственный интеграл схо-
дится; если А=
∞ (или не
существует) ⇒ несоб-
ственный интеграл рас-
х
одится.
Простейшие приемы
интегрирования
I. Непосредственное ин-
тегрирование
II. Замена переменной
III. Интегрирование по
частям
Свойства
1.
∫
= dxxfdxxfd )()(
2.
∫
+= CxFdxxFd )()(
3.
∫∫
⋅=⋅ dxxfadxxfa )()(
4.
[]
∫
=+ dxxxf )()(
ϕ
∫∫
+
= dxxdxxf )()(
ϕ
Неопределённый
интеграл
CxFdxxf +=
∫
)()(
Две различные первооб-
р
азные одной и той же
функции, определенной в
некотором промежутке,
отличаются друг
от дру-
га в этом промежутке на
некоторое постоянное
слагаемое.
Определённый
интеграл
∫
=Δ
∑
=
∞→
=
b
a
dxxf
i
x
i
n
l
f
n
aABb
S )()(
1
lim
ξ
)
1
(
+
≤≤
i
x
ii
x
ξ
∫
−=
b
a
aFbFdxxf )()()(
Свойства
1.
∫∫
=⋅
b
a
b
a
dxxfAdxxfA )()(
2.
∫
=
a
a
dxxf 0)(
3.
∫∫
−=
b
a
dxxfdxxf
a
b
)()(
4.
[]
∫
=+
b
a
dxxxf )()(
ϕ
∫∫
+=
b
a
b
a
dxxdxxf )()(
ϕ
5.
[]
∫
′
⋅
∫
=
b
a
dtttfdxxf )()()(
ϕ
β
α
ϕ
Геометрическое
площадь плоской фигуры:
∫
=
b
a
dxxfS )(
Физическое
работа переменной силы:
∫
=
b
a
dxxFA )(
Экономическое
объем выпускаемой
продукции за Т лет:
∫
+=
T
t
dtetQ
0
)(
γ
βα
Приложения
Приложение №2
Структура интегрального исчисления
функции одной переменной
В интегральном исчислении
Дано: F ′( x ) = f ( x ) . Найти F ( x ) + C = ∫ f ( x ) dx , F ( x ) - первообразная
Неопределённый
интеграл
∫ f ( x ) dx =F ( x ) + C
Свойства Простейшие приемы
интегрирования
1. d ∫ f ( x ) dx = f ( x ) dx Две различные первооб-
2. d ∫ F ( x ) dx = F ( x ) + C разные одной и той же I. Непосредственное ин-
3. ∫ a ⋅ f ( x ) dx = a ⋅ ∫ f ( x ) dx функции, определенной в тегрирование
некотором промежутке,
[ ]
4. ∫ f ( x ) + ϕ ( x ) dx = отличаются друг от дру-
II. Замена переменной
III. Интегрирование по
=∫ f ( x ) dx + ∫ ϕ ( x ) dx га в этом промежутке на частям
некоторое постоянное
слагаемое.
Несобственные Определённый Свойства
интегралы I рода: интеграл 1.
b b
∫ A ⋅ f ( x ) dx = A ∫ f ( x ) dx
+∞ b a a
∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx = A a
a b →+∞ a
2. ∫ f ( x ) dx = 0
Несобственные a
интегралы II рода: если b a
3. ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx
a b
в точке х = а функция b
b
[ ]
4. ∫ f ( x ) + ϕ ( x ) dx =
терпит разрыв, то n
S aABb = lim ∑ f (ξ i ) Δx i = ∫ f ( x ) dx
a
n→∞ l =1 a b b
c c = ∫ f ( x ) dx + ∫ ϕ ( x ) dx
∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx = A . ( x i ≤ ξ i ≤ x i +1 ) a a
a b →a + 0 b
b β
b [ ]
5. ∫ f ( x ) dx = ∫ f ϕ (t ) ⋅ ϕ ′(t ) dt
Если А - число ⇒ несоб- ∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) a α
a
ственный интеграл схо-
дится; если А= ∞ (или не
существует) ⇒ несоб-
ственный интеграл рас-
ходится.
Приложения
Геометрическое Физическое Экономическое
площадь плоской фигуры: работа переменной силы: объем выпускаемой
b b продукции за Т лет:
S = ∫ f ( x ) dx A = ∫ F ( x ) dx T
∫ (α t + β ) e
γt
a a Q = dt
0
95
