Автоматизированное проектирование. Норенков И.П. - 92 стр.

 5@!"! 3                                  %!#*%!#&F*:,$*        $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M

вторяется в нескольких списках.
     2) модель есть список ребер, для каждого ребра заданы инцидентные вершины и грани.
     Однако аппроксимация полигональными сетками при больших размерах ячеек сетки дает замет-
ные искажения формы, а при малых размерах ячеек оказывается неэффективной по вычислительным
затратам. Поэтому более популярны описания неплоских поверхностей кубическими уравнениями в
форме Безье или I-сплайнов.
     Знакомство с этими формами удобно выполнить, показав их применение для описания геомет-
рических объектов первого уровня — пространственных кривых.
       + - 0 B .F 6 9 0 . . Геометрическими объектами нулевого, первого и второго уровней называют соответственно точ-
ки, кривые, поверхности.
      В подсистемах МГиГМ используются параметрически задаваемые кубические кривые
         x(t) = axt3 + bxt2 + cxt + dx ,
         y(t) = ayt3 + byt2 + cyt + dy ,                                         (3.48)
         z(t) = azt + bzt + czt + dz ,
                   3      2

где 1 і t і 0. Такими кривыми описывают сегменты аппроксимируемой кривой, т.е. аппроксимируемую
кривую разбивают на сегменты и каждый сегмент аппроксимируют уравнениями (3.48).
      Применение кубических кривых обеспечивает (соответствующим выбором четырех коэффици-
ентов в каждом из трех уравнений) выполнение четырех условий сопряжения сегментов. В случае
кривых Безье этими условиями являются прохождение кривой сегмента через две заданные концевые
точки и равенство в этих точках касательных векторов соседних сегментов. В случае I-сплайнов вы-
полняются условия непрерывности касательного вектора и кривизны (т.е. первой и второй производ-
ных) в двух концевых точках, что обеспечивает высокую степень “гладкости” кривой, хотя прохожде-
ние аппроксимирующей кривой через заданные точки здесь не обеспечивается. Применение полино-
мов выше третьей степени не рекомендуется, так как велика вероятность появления “волнистости”.
      В случае формы Безье коэффициенты в (3.48) определяются, во-первых, подстановкой в (3.48)
значений t=0 и t=1 и координат заданных концевых точек P1 и %4 соответственно, во-вторых, подста-
новкой в выражения производных
            dx/dt = 3axt2 + 2bx + cx ,
            dy/dt = 3ayt2 + 2byt + cy ,
            dz/dt = 3azt2 + 2bzt + cz ,
тех же значений t=0 и t=1 и координат точек %2 и %3, задающих направления
касательных векторов (рис. 3.27). В результате для формы Безье получаем
                                                                                             %+,. 3.27.Кривая Безье
         x(t) = TТMGx,
                                                                                                          M:BD+=: 3.))
         y(t) = TТMGy,                                       (3.49)
         z(t) = T MGz,
                 Т                                                                            -1     3         -3    1
где TТ = ( t3, t2, t, 1) — вектор-строка, матрица M представлена в табл. 3.11,                3     -6          3    0
Gx — вектор координат S,i точек P1, %2, %3 и %4, аналогично Gy, Gz — векторы                  -3     3          0    0
координат Syi, Szi тех же точек.
     В случае I-сплайнов аппроксимируемая кривая делится на n участков,                       1      0          0    0
выделяемых последовательными точками P0, P1, P2,…Pn. Участок между па-
рой соседних точек Pi и Pi+1 аппроксимируется I-сплайном, постро-                                         M:BD+=: 3.)2
енным с использованием четырех точек Pi-1, Pi, Pi+1, Pi+2. I-сплайн на
                                                                          -1/6                1/2        -1/2       1/6
участке [Pi, Pi+1] может быть представлен выражениями, аналогич-
ными (3.49),                                                               1/2                 -1        1/2        0
          x(t) = TТMGx,                                                              -1/2       0        1/2        0
          y(t) = TТMGy,
                                                                                      1/6     2/3        1/6        0
          z(t) = TТMGz,

 &.+.)$(*),$" . !"#$%!#&'&($"!))$*                 +($*,#&($"!)&*                                                   92