Практикум по математической статистике. Панков А.Р - 3 стр.

UptoLike

Составители: 

ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебное пособие предназначено для методического обеспе-
чения практических занятий и самостоятельной работы студентов в
рамках курса “Математическая статистика”, изучаемого на факультете
“Прикладной математики и физики” МАИ в объеме 32 часов лекций и
32 часов практических занятий.
Пособие состоит из тринадцати разделов. Первые четыре раздела
посвящены более углубленному изучению разделов курса теории ве-
роятностей, имеющих особое значение для математической статистики
ауссовское многомерное распр еделени е, сходимость последовательно-
стей случайных величин, законы больших чисел, центральная предель-
ная теорема). Разделы с пятого по двенадцатый посвящены изучению
важнейших понятий и методов собственно математической статисти-
ки (выборочный метод, оценки параметров и методы их построения,
проверка статистических гипотез, линейный регрессионный анализ). В
последнем разделе приведены таблицы, используемые для статистиче-
ских расчетов. Каждый из разделов содержит три подраздела: в первом
содержатся основные определения и утверждения виде лемм, теорем
и следствий), во втором приведены важные с методической точки зре-
ния пр имеры, снабженные подробными решениями и комментариями, а
в третьем подразделе приведены условия задач, предназначенных для
самостоятельной работы студентов. Все задачи снабжены указаниями и
ответами.
При подготовке материала пособия авторы пользовались источника-
ми [5, 7 9] (теория вероятностей), [2, 4 8] (математическая статисти-
ка), [1, 3, 4] (примеры и задачи), в которых могут быть найдены доказа-
тельства основных теоретических положений, дополнительные примеры
и задачи.
Пособие ориентировано не только на студентов, обучающихся по спе-
циальности “Прикладная математика”, но также на студентов техниче-
ских университетов, специализирующихся в области теории уп равления,
обработки информации, экономической статистики, социологии.
СПИСОК ОСНОВНЫХ
СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ
СВ случайная величина или случай-
ный вектор;
СП случайная последовательность;
R
n
n-мерное (вещественное) евкли-
дово пространство;
A
транспонированная матрица;
A
1
обратная матрица;
I единичная матрица;
tr[A] след матрицы A;
det[A] определитель матрицы A;
A > 0 неотрицательно опреде-
ленная матрица;
exp{x} = e
x
экспонента;
max(x
1
, . . . , x
n
) максимум из
x
1
, . . . , x
n
;
arg min
xX
f(x) точка минимума фун-
кции f(x) на множестве X;
пространство элементарных собы-
тий (исходов) ω;
F σ-алгебра случайных событий
(подмножеств );
P{A} вероятность (вероятностная
мера) события A;
{, F, P} основное вероятностное
пространство;
невозможное событие;
F
ξ
(x) функция распределения
СВ ξ;
ξ F (x) СВ ξ имеет распределение
F (x);
p
ξ
(x) плотность распределения
СВ ξ;
m
ξ
= M{ξ} математическое ожида-
ние (среднее) СВ ξ;
D
ξ
= D{ξ} дисперсия СВ ξ;
cov{ξ, η} ковариация СВ ξ и η;
ξ центрированная СВ ξ;
Π(λ) распределение Пуассона с па-
раметром λ;
Bi(N ; p) биномиальное распре-
деление с параметрами N , p;
R[a; b] рав номерное распределение
на отрезке [a, b];
E(λ) экспоненциальное распределе-
ние с параметром λ;
N(m; D) гауссовское распределение
со средним m и дисперсией (кова-
риационной матрицей) D;
Ψ
X
(λ) характеристическая функ-
ция n-мерного гауссовского рас-
пределения:
χ
n
2
, H
n
распределение хи-квадрат с
n степенями свободы;
T
r
распределение Стьюдента c r
степенями свободы;
Φ(x) интеграл вероятностей (фун-
кция Лапласа);
ξ
n
p
ξ сходимость по вероятности;
ξ
n
с.к.
ξ сходимость в среднем кав-
дратическом (с.к.-сходимость);
ξ
n
п.н.
ξ сходимость почт и навер-
ное;
ξ
n
d
ξ сходимость по распределе-
нию (слабая сходимость);
u
α
кван тиль уровня α распределе-
ния N(0; 1);
k
α
(n) —- квантиль уровня α распреде-
ления H
n
;
t
α
(r) квантиль уровня α распреде-
ления T
r
                                                                                                СПИСОК ОСНОВНЫХ
                        ПРЕДИСЛОВИЕ
                                                                                       СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ
    Данное учебное пособие предназначено для методического обеспе-
чения практических занятий и самостоятельной работы студентов в             СВ — случайная величина или случай-    cov{ξ, η} — ковариация СВ ξ и η;
рамках курса “Математическая статистика”, изучаемого на факультете              ный вектор;                        ◦
                                                                                                                   ξ — центрированная СВ ξ;
“Прикладной математики и физики” МАИ в объеме 32 часов лекций и             СП — случайная последовательность;
                                                                                                                   Π(λ) — распределение Пуассона с па-
32 часов практических занятий.                                              Rn — n-мерное (вещественное) евкли-         раметром λ;
    Пособие состоит из тринадцати разделов. Первые четыре раздела               дово пространство;
                                                                                                                   Bi(N ; p) — биномиальное распре-
посвящены более углубленному изучению разделов курса теории ве-             A∗ — транспонированная матрица;             деление с параметрами N , p;
роятностей, имеющих особое значение для математической статистики           A−1 — обратная матрица;                R[a; b] — равномерное распределение
(гауссовское многомерное распределение, сходимость последовательно-         I — единичная матрица;                      на отрезке [a, b];
стей случайных величин, законы больших чисел, центральная предель-          tr[A] — след матрицы A;                E(λ) — экспоненциальное распределе-
ная теорема). Разделы с пятого по двенадцатый посвящены изучению            det[A] — определитель матрицы A;            ние с параметром λ;
важнейших понятий и методов собственно математической статисти-             A > 0 — неотрицательно опреде-         N (m; D) — гауссовское распределение
ки (выборочный метод, оценки параметров и методы их построения,                 ленная матрица;                         со средним m и дисперсией (кова-
проверка статистических гипотез, линейный регрессионный анализ). В          exp{x} = ex — экспонента;                   риационной матрицей) D;
последнем разделе приведены таблицы, используемые для статистиче-           max(x 1, . . . , x n) — максимум из    Ψ X (λ) — характеристическая функ-
ских расчетов. Каждый из разделов содержит три подраздела: в первом             x 1 , . . . , x n;                      ция n-мерного гауссовского рас-
                                                                            arg min f (x) — точка минимума фун-         пределения:
содержатся основные определения и утверждения (в виде лемм, теорем             x∈X                                 χ 2n, H n — распределение хи-квадрат с
и следствий), во втором приведены важные с методической точки зре-              кции f (x) на множестве X;              n степенями свободы;
ния примеры, снабженные подробными решениями и комментариями, а             Ω — пространство элементарных собы-    T r — распределение Стьюдента c r
в третьем подразделе приведены условия задач, предназначенных для               тий (исходов) ω;                        степенями свободы;
самостоятельной работы студентов. Все задачи снабжены указаниями и          F — σ-алгебра случайных событий        Φ(x) — интеграл вероятностей (фун-
ответами.                                                                       (подмножеств Ω);                        кция Лапласа);
    При подготовке материала пособия авторы пользовались источника-         P{A} — вероятность (вероятностная          p
ми [5, 7 − 9] (теория вероятностей), [2, 4 − 8] (математическая статисти-                                          ξn −→ ξ — сходимость по вероятности;
                                                                                мера) события A;                       с.к.
ка), [1, 3, 4] (примеры и задачи), в которых могут быть найдены доказа-     {Ω, F , P} — основное вероятностное    ξn −−−→ ξ — сходимость в среднем кав-
тельства основных теоретических положений, дополнительные примеры               пространство;                          дратическом (с.к.-сходимость);
                                                                                                                       п.н.
и задачи.                                                                   ∅ — невозможное событие;               ξn −−−→ ξ — сходимость почти навер-
    Пособие ориентировано не только на студентов, обучающихся по спе-       Fξ (x) — функция распределения            ное;
циальности “Прикладная математика”, но также на студентов техниче-              СВ ξ;                                  d
                                                                                                                   ξn −→ ξ — сходимость по распределе-
ских университетов, специализирующихся в области теории управления,         ξ ∼ F (x) — СВ ξ имеет распределение       нию (слабая сходимость);
обработки информации, экономической статистики, социологии.                     F (x);                             uα — квантиль уровня α распределе-
                                                                            p ξ(x) — плотность распределения           ния N (0; 1);
                                                                                СВ ξ;                              kα (n) —- квантиль уровня α распреде-
                                                                            m ξ = M{ξ} — математическое ожида-         ления H n;
                                                                                ние (среднее) СВ ξ;                t α(r) — квантиль уровня α распреде-
                                                                            Dξ = D{ξ} — дисперсия СВ ξ;                ления T r