ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебное пособие предназначено для методического обеспе-
чения практических занятий и самостоятельной работы студентов в
рамках курса “Математическая статистика”, изучаемого на факультете
“Прикладной математики и физики” МАИ в объеме 32 часов лекций и
32 часов практических занятий.
Пособие состоит из тринадцати разделов. Первые четыре раздела
посвящены более углубленному изучению разделов курса теории ве-
роятностей, имеющих особое значение для математической статистики
(гауссовское многомерное распр еделени е, сходимость последовательно-
стей случайных величин, законы больших чисел, центральная предель-
ная теорема). Разделы с пятого по двенадцатый посвящены изучению
важнейших понятий и методов собственно математической статисти-
ки (выборочный метод, оценки параметров и методы их построения,
проверка статистических гипотез, линейный регрессионный анализ). В
последнем разделе приведены таблицы, используемые для статистиче-
ских расчетов. Каждый из разделов содержит три подраздела: в первом
содержатся основные определения и утверждения (в виде лемм, теорем
и следствий), во втором приведены важные с методической точки зре-
ния пр имеры, снабженные подробными решениями и комментариями, а
в третьем подразделе приведены условия задач, предназначенных для
самостоятельной работы студентов. Все задачи снабжены указаниями и
ответами.
При подготовке материала пособия авторы пользовались источника-
ми [5, 7 − 9] (теория вероятностей), [2, 4 − 8] (математическая статисти-
ка), [1, 3, 4] (примеры и задачи), в которых могут быть найдены доказа-
тельства основных теоретических положений, дополнительные примеры
и задачи.
Пособие ориентировано не только на студентов, обучающихся по спе-
циальности “Прикладная математика”, но также на студентов техниче-
ских университетов, специализирующихся в области теории уп равления,
обработки информации, экономической статистики, социологии.
СПИСОК ОСНОВНЫХ
СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ
СВ — случайная величина или случай-
ный вектор;
СП — случайная последовательность;
R
n
— n-мерное (вещественное) евкли-
дово пространство;
A
∗
— транспонированная матрица;
A
−1
— обратная матрица;
I — единичная матрица;
tr[A] — след матрицы A;
det[A] — определитель матрицы A;
A > 0 — неотрицательно опреде-
ленная матрица;
exp{x} = e
x
— экспонента;
max(x
1
, . . . , x
n
) — максимум из
x
1
, . . . , x
n
;
arg min
x∈X
f(x) — точка минимума фун-
кции f(x) на множестве X;
Ω — пространство элементарных собы-
тий (исходов) ω;
F — σ-алгебра случайных событий
(подмножеств Ω);
P{A} — вероятность (вероятностная
мера) события A;
{Ω, F, P} — основное вероятностное
пространство;
∅ — невозможное событие;
F
ξ
(x) — функция распределения
СВ ξ;
ξ ∼ F (x) — СВ ξ имеет распределение
F (x);
p
ξ
(x) — плотность распределения
СВ ξ;
m
ξ
= M{ξ} — математическое ожида-
ние (среднее) СВ ξ;
D
ξ
= D{ξ} — дисперсия СВ ξ;
cov{ξ, η} — ковариация СВ ξ и η;
◦
ξ — центрированная СВ ξ;
Π(λ) — распределение Пуассона с па-
раметром λ;
Bi(N ; p) — биномиальное распре-
деление с параметрами N , p;
R[a; b] — рав номерное распределение
на отрезке [a, b];
E(λ) — экспоненциальное распределе-
ние с параметром λ;
N(m; D) — гауссовское распределение
со средним m и дисперсией (кова-
риационной матрицей) D;
Ψ
X
(λ) — характеристическая функ-
ция n-мерного гауссовского рас-
пределения:
χ
n
2
, H
n
— распределение хи-квадрат с
n степенями свободы;
T
r
— распределение Стьюдента c r
степенями свободы;
Φ(x) — интеграл вероятностей (фун-
кция Лапласа);
ξ
n
p
−→ ξ — сходимость по вероятности;
ξ
n
с.к.
−−−→ ξ — сходимость в среднем кав-
дратическом (с.к.-сходимость);
ξ
n
п.н.
−−−→ ξ — сходимость почт и навер-
ное;
ξ
n
d
−→ ξ — сходимость по распределе-
нию (слабая сходимость);
u
α
— кван тиль уровня α распределе-
ния N(0; 1);
k
α
(n) —- квантиль уровня α распреде-
ления H
n
;
t
α
(r) — квантиль уровня α распреде-
ления T
r
СПИСОК ОСНОВНЫХ
ПРЕДИСЛОВИЕ
СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ
Данное учебное пособие предназначено для методического обеспе-
чения практических занятий и самостоятельной работы студентов в СВ — случайная величина или случай- cov{ξ, η} — ковариация СВ ξ и η;
рамках курса “Математическая статистика”, изучаемого на факультете ный вектор; ◦
ξ — центрированная СВ ξ;
“Прикладной математики и физики” МАИ в объеме 32 часов лекций и СП — случайная последовательность;
Π(λ) — распределение Пуассона с па-
32 часов практических занятий. Rn — n-мерное (вещественное) евкли- раметром λ;
Пособие состоит из тринадцати разделов. Первые четыре раздела дово пространство;
Bi(N ; p) — биномиальное распре-
посвящены более углубленному изучению разделов курса теории ве- A∗ — транспонированная матрица; деление с параметрами N , p;
роятностей, имеющих особое значение для математической статистики A−1 — обратная матрица; R[a; b] — равномерное распределение
(гауссовское многомерное распределение, сходимость последовательно- I — единичная матрица; на отрезке [a, b];
стей случайных величин, законы больших чисел, центральная предель- tr[A] — след матрицы A; E(λ) — экспоненциальное распределе-
ная теорема). Разделы с пятого по двенадцатый посвящены изучению det[A] — определитель матрицы A; ние с параметром λ;
важнейших понятий и методов собственно математической статисти- A > 0 — неотрицательно опреде- N (m; D) — гауссовское распределение
ки (выборочный метод, оценки параметров и методы их построения, ленная матрица; со средним m и дисперсией (кова-
проверка статистических гипотез, линейный регрессионный анализ). В exp{x} = ex — экспонента; риационной матрицей) D;
последнем разделе приведены таблицы, используемые для статистиче- max(x 1, . . . , x n) — максимум из Ψ X (λ) — характеристическая функ-
ских расчетов. Каждый из разделов содержит три подраздела: в первом x 1 , . . . , x n; ция n-мерного гауссовского рас-
arg min f (x) — точка минимума фун- пределения:
содержатся основные определения и утверждения (в виде лемм, теорем x∈X χ 2n, H n — распределение хи-квадрат с
и следствий), во втором приведены важные с методической точки зре- кции f (x) на множестве X; n степенями свободы;
ния примеры, снабженные подробными решениями и комментариями, а Ω — пространство элементарных собы- T r — распределение Стьюдента c r
в третьем подразделе приведены условия задач, предназначенных для тий (исходов) ω; степенями свободы;
самостоятельной работы студентов. Все задачи снабжены указаниями и F — σ-алгебра случайных событий Φ(x) — интеграл вероятностей (фун-
ответами. (подмножеств Ω); кция Лапласа);
При подготовке материала пособия авторы пользовались источника- P{A} — вероятность (вероятностная p
ми [5, 7 − 9] (теория вероятностей), [2, 4 − 8] (математическая статисти- ξn −→ ξ — сходимость по вероятности;
мера) события A; с.к.
ка), [1, 3, 4] (примеры и задачи), в которых могут быть найдены доказа- {Ω, F , P} — основное вероятностное ξn −−−→ ξ — сходимость в среднем кав-
тельства основных теоретических положений, дополнительные примеры пространство; дратическом (с.к.-сходимость);
п.н.
и задачи. ∅ — невозможное событие; ξn −−−→ ξ — сходимость почти навер-
Пособие ориентировано не только на студентов, обучающихся по спе- Fξ (x) — функция распределения ное;
циальности “Прикладная математика”, но также на студентов техниче- СВ ξ; d
ξn −→ ξ — сходимость по распределе-
ских университетов, специализирующихся в области теории управления, ξ ∼ F (x) — СВ ξ имеет распределение нию (слабая сходимость);
обработки информации, экономической статистики, социологии. F (x); uα — квантиль уровня α распределе-
p ξ(x) — плотность распределения ния N (0; 1);
СВ ξ; kα (n) —- квантиль уровня α распреде-
m ξ = M{ξ} — математическое ожида- ления H n;
ние (среднее) СВ ξ; t α(r) — квантиль уровня α распреде-
Dξ = D{ξ} — дисперсия СВ ξ; ления T r
