2. Молекулярная физика. Термодинамика

Количество вещества тела (системы)

$\nu  = \frac{N}{{{N_A}}},$

где $N$ — число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т.п.), составляющих тело (систему); ${N_A}$ — по­стоянная Авогадро (${N_A} = 6,02 \cdot {10^{23}}$ моль^-1).

Молярная масса вещества

$M = \frac{m}{\nu },$

где $m$ — масса однородного тела (системы); $\nu$ — коли­чество вещества этого тела.

Относительная молекулярная масса вещества

${M_r} = \sum {n_i}{A_{r,i}},$

где ${n_i}$ — число атомов $i$-гo химического элемента, входя­щих в состав молекулы данного вещества; ${A_{r,i}}$ — относи­тельная атомная масса этого элемента. Относительные атомные массы приводятся в таблице Д. И. Менделеева.

Связь молярной массы $M$ с относительной молекуляр­ной массой вещества

$M = {M_r}k,$

где $k = {10^{ - 3}}$ кг/моль.

Количество вещества смеси газов

$\nu  = {\nu _1} + {\nu _2} + ... + {\nu _n} = \frac{{{N_1}}}{{{N_A}}} + \frac{{{N_2}}}{{{N_A}}} + ... + \frac{{{N_n}}}{{{N_A}}},$ или $\nu  = \frac{{{m_1}}}{{{M_1}}} + \frac{{{m_2}}}{{{M_2}}} + ... + \frac{{{m_n}}}{{{M_n}}},$

где ${\nu _i},{N_i},{m_i},{M_i}$ — соответственно количество вещества, число молекул, масса, молярная масса $i$-го компонента смеси.

Уравнение Менделеева — Клапейрона (уравнение со­стояния идеального газа)

$pV = \frac{m}{M}RT = \nu RT,$

где $m$ — масса газа, $M$ — молярная масса газа, $R$ — мо­лярная газовая постоянная, $\nu$ — количество вещества, $T$ — термодинамическая температура.

Опытные газовые законы, являющиеся частными слу­чаями уравнения Менделеева — Клапейрона для изопро­цессов:

а) закон Бойля — Мариотта (изотермический процесс: $T = const,m = const$)

$pV = const,$

или для двух состояний газа

${p_1}{V_1} = {p_2}{V_2};$

б) закон Гей-Люссака (изобарный процесс: $p = const,m = const$)

$\frac{V}{T} = const,$

или для двух состояний

$\frac{{{V_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{V_2}}}{{{T_2}}};$

в) закон Шарля (изохорный процесс: $\nu  = const,m = const$)

$\frac{p}{T} = const,$

или для двух состояний

$\frac{{{p_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{p_2}}}{{{T_2}}};$

г) объединенный газовый закон ($m = const$)

$\frac{{pV}}{T} = const,$ или $\frac{{{p_1}{V_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{p_2}{V_2}}}{{{T_2}}},$

где ${p_1},{V_1},{T_1}$ — давление, объем и температура газа в начальном состоянии; ${p_2},{V_2},{T_2}$ — те же величины в ко­нечном состоянии.

Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов,

$p = {p_1} + {p_2} + ... + {p_n},$

где ${p_i}$ — парциальные давления компонентов смеси; $n$ — число компонентов смеси.

Парциальным давлением называется давление газа, которое производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью.

Молярная масса смеси газов

$M = \frac{{{m_1} + {m_2} + ... + {m_n}}}{{{\nu _1} + {\nu _2} + ... + {\nu _n}}},$

где ${m_i}$ — масса $i$-го компонента смеси; ${\nu _i} = \frac{{{m_i}}}{{{M_i}}}$ — количество вещества $i$-го компонента смеси; $n$ — число ком­понентов смеси.

Массовая доля $i$-го компонента смеси газа (в долях единицы или процентах)

${\omega _i} = \frac{{{m_i}}}{m},$

где $m$ — масса смеси.

Концентрация молекул

$n = \frac{N}{V} = \frac{{{N_A}\rho }}{M},$

где $N$ — число молекул, содержащихся в данной системе; $\rho$ — плотность вещества; $V$ — объем системы. Формула справедлива не только для газов, но и для любого агре­гатного состояния вещества.

Основное уравнение кинетической теории газов

$p = \frac{2}{3}n\left\langle {{\varepsilon _n}} \right\rangle ,$

где $\left\langle {{\varepsilon _n}} \right\rangle$ — средняя кинетическая энергия поступатель­ного движения молекулы.

Средняя кинетическая энергия поступательного дви­жения молекулы

$\left\langle {{\varepsilon _n}} \right\rangle  = \frac{3}{2}kT,$

где $k$ — постоянная Больцмана.

Средняя полная кинетическая энергия молекулы

$\left\langle {{\varepsilon _i}} \right\rangle  = \frac{i}{2}kT,$

где $i$ — число степеней свободы молекулы.

Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры

$p = nkT.$

Скорость молекул:

$\left\langle {{v_{KB}}} \right\rangle  = \sqrt {\frac{{3kT}}{{{m_1}}}}  = \sqrt {\frac{{3RT}}{M}}$ — средняя квадратичная;

$\left\langle v \right\rangle  = \sqrt {\frac{{8kT}}{{\pi {m_1}}}}  = \sqrt {\frac{{8RT}}{{\pi M}}}$ — средняя арифметическая;

${v_B} = \sqrt {\frac{{2kT}}{{{m_1}}}}  = \sqrt {\frac{{2RT}}{M}}$ — наиболее вероятная,

где ${m_i}$ — масса одной молекулы.

Относительная скорость молекулы

$u = \frac{v}{{{v_B}}},$

где $v$ — скорость данной молекулы.

Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме (${c_V}$) и постоянном давлении (${c_p}$)

${c_V} = \frac{i}{2}\frac{R}{M},$ ${c_p} = \frac{{i + 2}}{2}\frac{R}{M}.$

Связь между удельной $c$ и молярной $C$ теплоемкос­тями

$c = C/M,$ $C = cM.$

Уравнение Майера

${C_p} - {C_V} = R.$

Внутренняя энергия идеального газа

$U = \frac{m}{M}\frac{i}{2}RT = \frac{m}{M}{C_V}T.$

Первое начало термодинамики

$Q = \Delta U + A,$

где $Q$ — теплота, сообщенная системе (газу); $\Delta U$ — из­менение внутренней энергии системы; $A$ — работа, совер­шенная системой против внешних сил.

Работа расширения газа:

$A = \int\limits_{{V_1}}^{{V_2}} {pdV}$ в общем случае;

$A = p({V_2} - {V_1})$ при изобарном процессе;

$A = \frac{m}{M}RT\ln \frac{{{V_2}}}{{{V_1}}}$ при изотермическом процессе;

$A =  - \Delta U =  - \frac{m}{M}{C_V}\Delta T,$ или $A = \frac{{R{T_1}}}{{\gamma  - 1}}\frac{m}{M}\left( {1 - {{\left( {\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}} \right)}^{\gamma  - 1}}} \right)$

при адиабатном процессе, где $\gamma  = {c_p}/{c_V}$ — показатель адиабаты.

Уравнения Пуассона, связывающие параметры иде­ального газа при адиабатном процессе:

$p{V^\gamma } = const,$ $\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = {\left( {\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}} \right)^{\gamma  - 1}}$

$\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}} = {\left( {\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}} \right)^\gamma },$ $\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = {\left( {\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}}} \right)^{(\gamma  - 1)/\gamma }}$

Термический КПД цикла

$\eta  = \frac{{{Q_1} - {Q_2}}}{{{Q_1}}},$

где ${Q_1}$ — теплота, полученная рабочим телом от теплоотдатчика; ${Q_2}$ — теплота, переданная рабочим телом теплоприемнику.

Термический КПД цикла Карно

$\eta  = \frac{{{Q_1} - {Q_2}}}{{{Q_1}}} = \frac{{{T_1} - {T_2}}}{{{T_1}}},$

где ${T_1}$ и ${T_2}$ — термодинамические температуры теплоотдатчика и теплоприемника.

Коэффициент поверхностного натяжения

$\alpha  = \frac{F}{l},$ или $\alpha  = \frac{{\Delta E}}{{\Delta S}},$

где $F$ — сила поверхностного натяжения, действующая на контур $l$, ограничивающий поверхность жидкости; $\Delta E$ — изменение свободной энергии поверхностной плен­ки жидкости, связанное с изменением площади $\Delta S$ поверхности этой пленки.

Формула Лапласа, выражающая давление $p$, созда­ваемое сферической поверхностью жидкости:

$p = \frac{{2\alpha }}{R},$

где $R$ — радиус сферической поверхности.

Высота подъема жидкости в капиллярной трубке

$h = \frac{{2\alpha \cos \theta }}{{\rho gR}},$

где $\theta$ — краевой угол ($\theta  = 0$ при полном смачивании сте­нок трубки жидкостью; $\theta  = \pi$ при полном несмачивании); $R$ — радиус канала трубки; $\rho$ — плотность жидкости; $g$ — ускорение свободного падения.

Высота подъема жидкости между двумя близкими и параллельными друг другу плоскостями

$h = \frac{{2\alpha \cos \theta }}{{\rho gd}},$

где $d$ — расстояние между плоскостями.