Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. Пономарева Н.В - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Воспользуемся формулой (11) и найдём
=⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=
γβα
coscoscos
)(
0
0
0
0
M
M
M
z
U
y
U
x
U
дn
MдU
.
21
38
21
1
2
21
4
5
21
2
10
=
−⋅+⋅+⋅=
2.6 Экстремум функции нескольких переменных
2.6.1 Понятие максимума и минимума функции нескольких
переменных
Пусть функция U
= f(x
1
,
x
2
, …, x
n
) определена в некоторой области D и
(
)
00
2
0
10
...,,,
n
ххxМ
внутренняя точка этой области.
Определение: Точка М
0
называется точкой максимума (минимума)
функции U
= f(x
1
,
x
2
, …, x
n
), если существует ) такая, что
выполняется неравенство
(
0
МО
δ
)(
0
МОM
δ
∈∀
f
(M
0
) ≥ f (M), (f (M
0
) ≤ f (M)).
Максимумы и минимумы функции называются локальными
экстремумами функции или экстремальными значениями функции.
2.6.2 Необходимые условия существования экстремума
Теорема 15. Если функция U = f(x
1
,
x
2
, …, x
n
) в точке
(
)
00
2
0
10
...,,,
n
ххxМ
имеет локальный экстремум, то все её частные производные первого порядка в
этой точке равны нулю или хотя бы одна не существует.
Эта теорема имеет простое геометрическое истолкование в случае,
когда в точке все частные производные равны нулю. Запишем уравнение
касательной плоскости к поверхности z
= f(x, y) в точке экстремума М
0
(х
0
, у
0
, z
0
):
() (
0
0
0
0
0
yy
ду
дf
xx
дх
дf
zz
M
M
−⋅+−⋅=−
)
. (14)
45
Воспользуемся формулой (11) и найдём

дU ( M 0 ) ∂U                          ∂U                     ∂U
          =                ⋅ cos α +              ⋅ cos β +             ⋅ cos γ =
  дn        ∂x        M0               ∂y    M0
                                                              ∂z   M0


          2           4           1  38
= 10 ⋅         + 5⋅       + 2 ⋅ −    =    .
          21           21         21   21

         2.6 Экстремум функции нескольких переменных


     2.6.1 Понятие                максимума              и    минимума              функции      нескольких
переменных


         Пусть функция U = f(x1, x2, …, xn) определена в некоторой области D и
    (                  )
М 0 x10 , х 20 , ..., х n0 внутренняя точка этой области.

      Определение: Точка М0 называется точкой максимума (минимума)
функции U = f(x1, x2, …, xn), если существует Оδ ( М 0 ) такая, что ∀M ∈Оδ (М0)
выполняется неравенство

                                        f (M0) ≥ f (M), (f (M0) ≤ f (M)).

       Максимумы и минимумы функции называются локальными
экстремумами функции или экстремальными значениями функции.


         2.6.2 Необходимые условия существования экстремума


       Теорема 15. Если функция U = f(x1, x2, …, xn) в точке М 0 x10 , х 20 , ..., х n0      (            )
имеет локальный экстремум, то все её частные производные первого порядка в
этой точке равны нулю или хотя бы одна не существует.

       Эта теорема имеет простое геометрическое истолкование в случае,
когда в точке все частные производные равны нулю. Запишем уравнение
касательной плоскости к поверхности z = f(x, y) в точке экстремума М0(х0, у0, z0):

                                        дf                         дf
                             z − z0 =             ⋅ (x − x 0 ) +             ⋅ (y − y0 ) .             (14)
                                        дх   M0                    ду   M0




                                                                                                         45

Страницы