ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
()
(
)
(
)
(
)
−⋅++−⋅+−⋅+++⋅+⋅+⋅
xxxxх
eCBAxeBAxeCBxAxeBAxеA
22
2222
(
)
(
)
.2
22 xx
exxeCBxAx ⋅+≡⋅++⋅−
Сократим на :
x
e
()
(
)
22
22 xxCBxAxBAxA +=++⋅−++ . Сравнивая
коэффициенты, получим
−=
−=
−=
=−+
=−
=−
.
8
7
,
4
3
,
2
1
,022
,12
,12
C
B
A
CBA
BA
A
Получим
x
нч
ex
x
y ⋅
−−−=
8
7
4
3
2
2
..
.
Ответ:
(
)
xxx
но
exxeCеСy ⋅++⋅−+=
−
764
8
1
2
2
2
1..
.
Задача. Исследовать ряды на сходимость
а)
∑
, б)
∞
=
−
+
1
3
2
sin3
n
nn
n
()
∑
∞
=
+
+
⋅
+
⋅−
1
1
1
2
1
1
n
n
n
n
n
.
Решение: Рассмотрим ряд а). Общий член этого ряда
nn
n
a
n
−
+
=
3
2
sin3
.
Составим цепочку неравенств:
nn
b
nnnnnn
n
a =
−
=
−
+
≤
−
+
=
333
2
413
sin3
.
Сравним ряд
∑∑
∞
=
∞
=
−
=
11
3
4
nn
n
nn
b
с рядом
∑∑
∞
=
∞
=
=
11
3
1
n
п
n
с
n
, который сходится как
обобщенный гармонический ряд с 3
=
α
. Применим признак сравнения II.
Найдем
4
1
4
limlim
3
3
=
−
=
∞→∞→
n
nn
b
с
n
n
n
n
, следовательно, оба ряда ведут себя
одинаково, т.е. сходятся, т.к. ряд
∑∑
∞
=
∞
=1n
n
b
−
=
1
3
4
n
nn
– сходится. Так как
, то по признаку сравнения I данный ряд сходится как ряд с меньшими
членами.
nn
ba ≤
99
( )
2 A ⋅ е х + 2 ⋅ (2 Ax + B ) ⋅ e x + Ax 2 + Bx + C ⋅ e x − (2 Ax + B ) ⋅ e x − Ax 2 + B + C ⋅ e x − ( )
( ) (
− 2 ⋅ Ax 2 + Bx + C ⋅ e x ≡ x + x 2 ⋅ e x . )
Сократим на e x : 2 A + ( Ax + B ) − 2 ⋅ Ax 2 + Bx + C = x + x 2 . ( ) Сравнивая
коэффициенты, получим
1
A = − ,
− 2 A = 1, 2
3
A − 2 B = 1, B = − ,
2 A + B − 2C = 0, 4
7
C = − .
8
x2 3 7
Получим yч.н. = − − x − ⋅ e x .
2 4 8
1
(
Ответ: y о.н. = С1е 2 x + C 2 e − x − ⋅ 4 x 2 + 6 x + 7 ⋅ e x .
8
)
Задача. Исследовать ряды на сходимость
∞ ∞
3 + sin 2 n n +1
а) ∑ 3
n − n
, б) ∑ (− 1)n+1 ⋅ n ⋅ 2 n+1 .
n =1 n =1
3 + sin 2 n
Решение: Рассмотрим ряд а). Общий член этого ряда a n = .
n3 − n
3 + sin 2 n 3+1 4
Составим цепочку неравенств: a n = 3
≤ 3
= 3
= bn .
n − n n − n n − n
∞ ∞ ∞ ∞
4 1
Сравним ряд ∑ bn = ∑ n 3 − с рядом ∑ 3 = ∑ с п , который сходится как
n =1 n
n =1 n =1 n n =1
обобщенный гармонический ряд с α = 3 . Применим признак сравнения II.
сn n3 − n 1
Найдем lim = lim = , следовательно, оба ряда ведут себя
n →∞ bn n →∞ 4n 3 4
∞ ∞
4
одинаково, т.е. сходятся, т.к. ряд ∑ bn = ∑ 3 – сходится. Так как
n =1 n =1 n − n
a n ≤ bn , то по признаку сравнения I данный ряд сходится как ряд с меньшими
членами.
99
