Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 13 стр.

                 Для практического применения формула (3) записывается более просто:

                                               ∫ u dv = u ⋅ v − ∫ v du .
Основные классы функций, интегрируемых по частям:

1) Pn ( x ) ⋅ log m
                  a x , Pn ( x ) ⋅ arcsin α x , Pn ( x ) ⋅ arccos α x ,

      Pn ( x ) arctg α x, Pn ( x ) arcctg α x, где Pn ( x ) - многочлен степени n.
     При выборе частей для этих функций всегда dv = Pn ( x ) dx .

2) Pn ( x ) ⋅ sin α x , Pn ( x ) ⋅ cos α x , Pn ( x ) ⋅ a αx , Pn ( x ) ⋅ e αx , ...
     При выборе частей для этих функций всегда u = Pn ( x ) .


                 Примеры. Найти интегралы:

                              u = x, dv = cos 2 x dx
                                                                     1         1
1.   ∫ x cos 2 x dx =                                    1
                              du = dx, v = ∫ cos 2 x dx = sin 2 x
                                                                  = x sin 2 x − ∫ sin 2 x dx =
                                                                     2         2
                                                         2

     1            1 1               1           1
=      x sin 2 x −  − cos 2 x  + C = x sin 2 x + cos 2 x + C.
     2            2 2               2           4


                                              dx
                         u = ln x,     dv =
         ln x                                 x3
2.   ∫   x   3
                  dx =
                             1                     dx        x −2
                                                                           =
                                                       −3
                         du = dx,         v = ∫ 3 = ∫ x dx =
                             x                 x             −2

        1 −2          x − 2  dx     ln x 1 dx           ln x      1
     = − x ln x − ∫  −     
                              x  = −     2
                                            +   ∫   3
                                                      = −     2
                                                                −     2
                                                                        + C.
        2               2           2 x     2   x       2 x     4 x


                                    u = x 2 − 1,        dv = e 3 x dx
     ∫ (x           )
             2
3.               − 1 ⋅ e 3 x dx =                                       1      =
                                    du = 2 x dx,        v = ∫ e 3 x dx = e 3 x
                                                                        3

         (      1
                3
                     )    1
                          3
                                         1
                                         3
                                                         ( 2
                                                                )
     = x 2 − 1 ⋅ e 3 x − ∫ e 3 x 2 x dx = x 2 − 1 ⋅ e 3 x − ∫ x ⋅ e 3 x dx =
                                                           3

                                                                                             13