Теория измерений. Точность средств измерений. Романов В.Н. - 151 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Гамма-распределение. Это распределение является
непрерывным и используется для описания случайных величин,
ограниченных с одной стороны. Его плотность имеет вид
1
1
() ; 0; 0; 0,5
()
c
xa
b
xa
fx e x b c
bc b
−
−
−
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
−
=≥>≥
Γ
, (4.13)
где а – параметр сдвига, b – параметр масштаба, с – параметр
формы, Г(с) – известная гамма-функция. Если с – положительное
целое число, то Г(с)=(с-1)!. Обычно полагают при расчетах а=0, а
вместо b используют другой параметр λ=b⎯¹. При изменении
параметра λ форма распределения не меняется, а меняется
только масштаб.
В частности, при с<1 плотность распределения
имеет вид убывающей функции, а при с>1 представляет собой
одновершинную кривую с максимумом в точке х=(с-1)/λ. Гамма-
распределение описывает время, необходимое для появления
ровно c независимых событий (например, отказов), если они
происходят с постоянной интенсивностью. Гамма-распределение
играет важную роль в теории массового
обслуживания, где
рассматриваются задачи, связанные с ожиданием в очереди.
Если, например, заявки на контроль и ремонт СИ поступают с
постоянной интенсивностью (λ единиц в месяц) независимо друг
от друга, а контроль и ремонт СИ производится партиями
объемом c, то время, за которое будут проверены все приборы
является случайной величиной, подчиняющейся
гамма-
распределению. Его широкое использование объясняется тем, что
гамма-распределение принимает самые разнообразные формы.
Частными случаями этого распределения являются
распределения: Эрланга, когда параметр с – натуральное число;
"хи-квадрат", когда параметр λ=0,5 и с кратно 0,5;
экспоненциальное, когда параметр с=1. Часто гамма-
распределение используется в альтернативной форме:
1
1
() ,0
()
py
fy y e p
p
−−
=<<∞
Γ
, (4.14)
где p – параметр формы и введена новая переменная y=(x–a)/b.
Математическое ожидание в этом случае равно: M[y]=p;
дисперсия равна математическому ожиданию, т.е. D[y]=p.
Вопросы, изложенные в данном разделе, рассмотрены,
например, в [22, 35, 45].

Страницы