Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3. óÈÅÍÙ ÉÚ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× 73
ôÅÐÅÒØ ÎÁÂÏÒ ÂÕÌÅ×ÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ B ÍÏÖÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ ÐÏÌÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÌÀÂÁÑ ÂÕ-
ÌÅ×Á ÆÕÎËÃÉÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÄÁÎÁ ÓÈÅÍÏÊ ÉÚ B-ÜÌÅÍÅÎÔÏ× (ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÒÏ-
ÇÒÁÍÍÁ, ž ×ÙÞÉÓÌÑÀÝÁÑ, ÐÒÉ ÜÔÏÍ × ÐÒÁ×ÙÈ ÞÁÓÔÑÈ ÐÒÉÓ×ÁÉ×ÁÎÉÊ ÓÔÏÑÔ
ÆÕÎËÃÉÉ ÉÚ B). ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÐÏÌÎÏÔÙ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÐÒÅÖÎÅÍÕ,
ÔÏ ÅÓÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÚÁÐÉÓÁÔØ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎËÃÉÀ × ×ÉÄÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÓÏ Ó×ÑÚËÁÍÉ
ÉÚ B (ËÁË ÍÙ ÇÏ×ÏÒÉÌÉ, ÒÁÚÎÉÃÁ ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÜÌÅÍÅÎÔ
ÂÕÄÅÔ ÆÉÇÕÒÉÒÏ×ÁÔØ × ÆÏÒÍÕÌÅ ÍÎÏÇÏËÒÁÔÎÏ).
óÌÏÖÎÏÓÔØÀ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ B ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÍÉÎÉÍÁÌØ-
ÎÙÊ ÒÁÚÍÅÒ ÓÈÅÍÙ ÉÚ B-ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ×ÙÞÉÓÌÑÀÝÅÊ ÆÕÎËÃÉÀ f. åÇÏ ÏÂÏÚÎÁ-
ÞÁÀÔ size
B
(f).
ôÅÏÒÅÍÁ 23. ðÕÓÔØ B
1
É B
2
¡ Ä×Á ÐÏÌÎÙÈ ÎÁÂÏÒÁ ÂÕÌÅ×ÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ.
ôÏÇÄÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÍÅÒÙ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ
ÎÁ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ: ÎÁÊľÔÓÑ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ C, ÞÔÏ size
B
1
(f) 6
6 C size
B
2
(f) É size
B
2
(f) 6 C size
B
1
(f) ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÐÏÞÔÉ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ: ÐÏÓËÏÌØËÕ ÎÁÂÏÒÙ B
1
É
B
2
ÐÏÌÎÙ, ÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÎÁÂÏÒÏ× ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÞÉÓÌÅÎÁ
ËÁËÏÊ-ÔÏ ÓÈÅÍÏÊ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÄÒÕÇÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ. ôÅÐÅÒØ ÍÏÖÎÏ
×ÚÑÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å C ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÒÁÚÍÅÒ ÔÁËÉÈ ÓÈÅÍ, É ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÂÕÄÕÔ ×Ù-
ÐÏÌÎÑÔØÓÑ: ËÁÖÄÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÐÒÏÇÒÁÍÍÙ ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÎÁ C (ÉÌÉ ÍÅÎØÛÅ)
ÓÔÒÏË Ó ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÆÕÎËÃÉÊ ÄÒÕÇÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ.
þÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ Ï ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ n ÁÒÇÕ-
ÍÅÎÔÏ×? óÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÜËÓÐÏÎÅÎÃÉÁÌØÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ
ÏÔ n (ÄÌÑ ¥ÎÁÕÇÁÄ ×ÚÑÔÏÊ¥ ÆÕÎËÃÉÉ).
ôÅÏÒÅÍÁ 24. ( Á) ðÕÓÔØ c > 2. ôÏÇÄÁ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÌÀÂÏÊ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË-
ÃÉÉ n ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ c
n
ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ n.
( Â) ðÕÓÔØ c < 2. ôÏÇÄÁ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Á ÂÕÌÅ×ÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ n ÁÒÇÕ-
ÍÅÎÔÏ× ÎÅ ÍÅÎØÛÅ c
n
ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ n.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÏ ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÔÅÏÒÅÍÅ ÎÅ
ÉÍÅÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ËÁËÏÊ ÐÏÌÎÙÊ ÂÁÚÉÓ ×ÙÂÒÁÔØ (ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ c ÂÏÌÅÅ
ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÞÅÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÎÁ ËÏÎÓÔÁÎÔÕ).
ðÅÒ×ÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ: ÒÁÚÍÅÒ ÓÈÅÍÙ, ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÅÊ
ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÕÀ ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕ Ó n ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ, ÅÓÔØ O(n2
n
), ÐÏ-
ÓËÏÌØËÕ ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅ ÂÏÌÅÅ 2
n
ËÏÎßÀÎËÔÏ× ÒÁÚÍÅÒÁ O(n). (îÁÐÏÍÎÉÍ ÓÍÙÓÌ
O-ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ: O(n2
n
) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÅÒÈÎÑÑ ÏÃÅÎËÁ ×ÉÄÁ Cn2
n
ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ C.) ïÓÔÁÌÏÓØ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ O(n2
n
) < c
n
ÐÒÉ ÄÏ-
ÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ n (ÎÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ c > 2).
þÔÏÂÙ ÄÏËÁÚÁÔØ ×ÔÏÒÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ÏÃÅÎÉÍ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÈÅÍ (ÓËÁ-
ÖÅÍ, × ÂÁÚÉÓÅ é, éìé, îå) ÒÁÚÍÅÒÁ N Ó n ÁÒÇÕÍÅÎÔÁÍÉ. ëÁÖÄÁÑ ÔÁËÁÑ
§3. óÈÅÍÙ ÉÚ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×                                73

   ôÅÐÅÒØ ÎÁÂÏÒ ÂÕÌÅ×ÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ B ÍÏÖÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ ÐÏÌÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÌÀÂÁÑ ÂÕ-
ÌÅ×Á ÆÕÎËÃÉÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÄÁÎÁ ÓÈÅÍÏÊ ÉÚ B-ÜÌÅÍÅÎÔÏ× (ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÒÏ-
ÇÒÁÍÍÁ, ž ×ÙÞÉÓÌÑÀÝÁÑ, ÐÒÉ ÜÔÏÍ × ÐÒÁ×ÙÈ ÞÁÓÔÑÈ ÐÒÉÓ×ÁÉ×ÁÎÉÊ ÓÔÏÑÔ
ÆÕÎËÃÉÉ ÉÚ B). ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÐÏÌÎÏÔÙ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÐÒÅÖÎÅÍÕ,
ÔÏ ÅÓÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÚÁÐÉÓÁÔØ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎËÃÉÀ × ×ÉÄÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÓÏ Ó×ÑÚËÁÍÉ
ÉÚ B (ËÁË ÍÙ ÇÏ×ÏÒÉÌÉ, ÒÁÚÎÉÃÁ ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÜÌÅÍÅÎÔ
ÂÕÄÅÔ ÆÉÇÕÒÉÒÏ×ÁÔØ × ÆÏÒÍÕÌÅ ÍÎÏÇÏËÒÁÔÎÏ).
   óÌÏÖÎÏÓÔØÀ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ B ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÍÉÎÉÍÁÌØ-
ÎÙÊ ÒÁÚÍÅÒ ÓÈÅÍÙ ÉÚ B-ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ×ÙÞÉÓÌÑÀÝÅÊ ÆÕÎËÃÉÀ f . åÇÏ ÏÂÏÚÎÁ-
ÞÁÀÔ sizeB (f ).
  ôÅÏÒÅÍÁ 23. ðÕÓÔØ B1 É B2 ¡ Ä×Á ÐÏÌÎÙÈ ÎÁÂÏÒÁ ÂÕÌÅ×ÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ.
ôÏÇÄÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÍÅÒÙ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ
ÎÁ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ: ÎÁÊľÔÓÑ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ C, ÞÔÏ sizeB1 (f ) 6
6 C sizeB2 (f ) É sizeB2 (f ) 6 C sizeB1 (f ) ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f .
   äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÐÏÞÔÉ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ: ÐÏÓËÏÌØËÕ ÎÁÂÏÒÙ B1 É
B2 ÐÏÌÎÙ, ÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÎÁÂÏÒÏ× ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÞÉÓÌÅÎÁ
ËÁËÏÊ-ÔÏ ÓÈÅÍÏÊ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÄÒÕÇÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ. ôÅÐÅÒØ ÍÏÖÎÏ
×ÚÑÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å C ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÒÁÚÍÅÒ ÔÁËÉÈ ÓÈÅÍ, É ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÂÕÄÕÔ ×Ù-
ÐÏÌÎÑÔØÓÑ: ËÁÖÄÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÐÒÏÇÒÁÍÍÙ ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÎÁ C (ÉÌÉ ÍÅÎØÛÅ)
ÓÔÒÏË Ó ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÆÕÎËÃÉÊ ÄÒÕÇÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ.
   þÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ Ï ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ n ÁÒÇÕ-
ÍÅÎÔÏ×? óÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÜËÓÐÏÎÅÎÃÉÁÌØÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ
ÏÔ n (ÄÌÑ ¥ÎÁÕÇÁÄ ×ÚÑÔÏÊ¥ ÆÕÎËÃÉÉ).
   ôÅÏÒÅÍÁ 24. ( Á) ðÕÓÔØ c > 2. ôÏÇÄÁ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÌÀÂÏÊ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË-
ÃÉÉ n ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ cn ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ n.
( Â) ðÕÓÔØ c < 2. ôÏÇÄÁ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Á ÂÕÌÅ×ÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ n ÁÒÇÕ-
ÍÅÎÔÏ× ÎÅ ÍÅÎØÛÅ cn ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ n.
   äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÏ ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÔÅÏÒÅÍÅ ÎÅ
ÉÍÅÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ËÁËÏÊ ÐÏÌÎÙÊ ÂÁÚÉÓ ×ÙÂÒÁÔØ (ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ c ÂÏÌÅÅ
ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÞÅÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÎÁ ËÏÎÓÔÁÎÔÕ).
   ðÅÒ×ÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ: ÒÁÚÍÅÒ ÓÈÅÍÙ, ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÅÊ
ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÕÀ ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕ Ó n ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ, ÅÓÔØ O(n2n ), ÐÏ-
ÓËÏÌØËÕ ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅ ÂÏÌÅÅ 2n ËÏÎßÀÎËÔÏ× ÒÁÚÍÅÒÁ O(n). (îÁÐÏÍÎÉÍ ÓÍÙÓÌ
O-ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ: O(n2n) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÅÒÈÎÑÑ ÏÃÅÎËÁ ×ÉÄÁ Cn2n
ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ C.) ïÓÔÁÌÏÓØ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ O(n2n ) < cn ÐÒÉ ÄÏ-
ÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ n (ÎÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ c > 2).
   þÔÏÂÙ ÄÏËÁÚÁÔØ ×ÔÏÒÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ÏÃÅÎÉÍ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÈÅÍ (ÓËÁ-
ÖÅÍ, × ÂÁÚÉÓÅ é, éìé, îå) ÒÁÚÍÅÒÁ N Ó n ÁÒÇÕÍÅÎÔÁÍÉ. ëÁÖÄÁÑ ÔÁËÁÑ

Страницы