Сборник задач по высшей математике. Часть IV. Интегралы. Дифференциальные уравнения. Самохин А.В - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

28 çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ
Á) m > 0, ÞÅÔÎÏÅ, m = 2k.
Z
sin
m
x dx =
Z
(sin
2
x)
k
dx =
Z
(1 − cos 2x)
k
2
k
dx =
1
2
k+1
Z
(1 − cos 2x)
k
d2x.
Â) m > 0, ÎÅÞÅÔÎÏÅ, m = 2k + 1.
Z
sin
m
x dx =
Z
sin
2k
x · sin x dx =
= −
Z
(sin
2
x)
k
d cos x = −
Z
(1 − cos
2
x)
k
d cos x = −
Z
(1 − t
2
)
k
dt,
ÇÄÅ t = cos x.
÷ÏÚ×ÅÄÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ, ÓÔÏÑÝÉÅ ÐÏÄ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁÍÉ ÐÏ ÂÉÎÏÍÕ îØÀÔÏÎÁ × ÓÏ-
ÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÓÔÅÐÅÎØ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÒÑÄ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ÔÉÐÁ (Á) É (Â), ÎÏ Ó ÎÉÚ-
ÛÉÍÉ ÓÔÅÐÅÎÑÍÉ, ÉÈ ÄÁÌØÛÅ ÕÐÒÏÝÁÅÍ ÔÅÍ ÖÅ ÏÂÒÁÚÏÍ.
óÌÕÞÁÊ
R
cos
m
x dx ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ.
ðÒÉÍÅÒ 35.
Z
cos
4
x dx =
Z
(cos
2
x)
2
dx =
Z
(1 + cos 2x)
2
8
d2x =
=
1
8
Z
(1 + 2 cos z + cos
2
z) dz =
z
8
+
sin z
4
+
+
1
8
Z
1 + cos 2z
2
dz =
3
8
x +
sin 2x
4
+
sin 4x
32
+ C.
ðÒÉÍÅÒ 36.
Z
cos
3
x dx =
Z
cos
2
x d sin x =
Z
(1 − sin
2
x) d sin x =
=
Z
(1 − t
2
) dt = t −
t
3
3
+ C = sin x −
sin
3
x
3
+ C.
×) m = −1
Z
dx
sin x
,
Z
dx
cos x
.
Z
dx
sin x
=
Z
dx
2 sin
x
2
cos
x
2
=
Z
d
x
2
cos
2
x
2
sin
x
2
cos
x
2
=
Z
d tg
x
2
tg
x
2
= ln
tg
x
2
+ C,
Z
dx
cos x
=
Z
d
x +
π
2
sin
x +
π
2
= ln
tg
x
2
+
π
4
+ C.
28            çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ

  Á) m > 0, ÞÅÔÎÏÅ, m = 2k.
                              (1 − cos 2x)k       1
Z             Z             Z                       Z
     m              2 k
  sin x dx = (sin x) dx =            k
                                            dx = k+1 (1 − cos 2x)k d2x.
                                   2            2
  Â) m > 0, ÎÅÞÅÔÎÏÅ, m = 2k + 1.
 Z              Z
    sinm x dx = sin2k x · sin x dx =
              Z                     Z                       Z
         = − (sin2 x)k d cos x = − (1 − cos2 x)k d cos x = − (1 − t2 )k dt,

ÇÄÅ t = cos x.
   ÷ÏÚ×ÅÄÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ, ÓÔÏÑÝÉÅ ÐÏÄ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁÍÉ ÐÏ ÂÉÎÏÍÕ îØÀÔÏÎÁ × ÓÏ-
ÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÓÔÅÐÅÎØ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÒÑÄ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ÔÉÐÁ (Á) É (Â), ÎÏ Ó ÎÉÚ-
ÛÉÍÉ ÓÔÅÐÅÎÑÍÉ,   ÉÈ ÄÁÌØÛÅ ÕÐÒÏÝÁÅÍ ÔÅÍ ÖÅ ÏÂÒÁÚÏÍ.
               m
            R
   óÌÕÞÁÊ cos x dx ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ.
   ðÒÉÍÅÒ 35.

                                    (1 + cos 2x)2
  Z            Z                Z
        4            2   2
     cos x dx = (cos x) dx =                      d2x =
                                          8
                   1                                z sin z
                     Z
                 =     (1 + 2 cos z + cos2 z) dz = +        +
                   8                                8   4
                             1 1 + cos 2z            3   sin 2x sin 4x
                               Z
                           +                  dz = x +         +       + C.
                             8          2            8      4     32
  ðÒÉÍÅÒ 36.
 Z           Z               Z
   cos x dx = cos x d sin x = (1 − sin2 x) d sin x =
      3          2


                                            t3           sin3 x
                          Z
                                2
                       = (1 − t ) dt = t − + C = sin x −        + C.
                                             3             3
     ×) m = −1
                                             dx                 dx
                                      Z                 Z
                                                  ,                  .
                                            sin x              cos x
          dx                dx                        d x2                     d tg x2       x
     Z             Z                       Z                               Z
               =                       =                              =           x = ln tg   + C,
                       2 sin x2 cos x2                       sin x2
                                                       
         sin x                                cos2 x2                           tg 2         2
                                                             cos x2

                                       d x + π2
                                                
                         dx                                x π 
                   Z              Z
                              =                   = ln tg   +    + C.
                        cos x         sin x + π2            2 4

Страницы