Сборник задач по высшей математике. Часть IV. Интегралы. Дифференциальные уравнения. Самохин А.В - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ 53
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ f(x) ÐÏ ÐÒÏ-
ÍÅÖÕÔËÕ [a; +∞) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÅÄÅÌ (ÅÓÌÉ ÏÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ) lim
A→+∞
A
R
a
f(x) dx,
ÅÇÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
+∞
Z
a
f(x) dx = lim
A→+∞
A
Z
a
f(x) dx. (1)
÷ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÜÔÏÔ ÐÒÅÄÅÌ ËÏÎÅÞÅÎ, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ (1) ÓÈÏÄÉÔ-
ÓÑ, ÅÓÌÉ ÐÒÅÄÅÌ (1) ÂÅÓËÏÎÅÞÅÎ ÉÌÉ ×Ï×ÓÅ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ
ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
ðÒÉÍÅÒ 1. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
+∞
R
0
dx
1+x
2
. æÕÎËÃÉÑ f(x) =
1
1+x
2
ÎÁ ÌÀÂÏÍ
ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [0, A] ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ
+∞
Z
0
1
1 + x
2
dx = lim
A→+∞
A
Z
0
dx
1 + x
2
= lim
A→+∞
arctg A =
π
2
.
ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÓÈÏÄÉÔÓÑ É ÅÇÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÒÁ×ÎÁ
π
2
.
ðÒÉÍÅÒ 2. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
+∞
R
0
sin x dx. æÕÎËÃÉÑ f(x) = sin x ÉÎ-
ÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁ ÌÀÂÏÍ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [0, A]. ôÁË ËÁË
lim
A→+∞
A
Z
0
sin x dx = lim
A→+∞
(−cos A)
ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÔÏ ÐÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
+∞
R
0
sin x dx ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
ðÒÉÍÅÒ 3. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
+∞
R
1
dx
x
p
. æÕÎËÃÉÑ f(x) =
1
x
p
ÉÎÔÅÇÒÉÒÕ-
ÅÍÁ ÎÁ ÌÀÂÏÍ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [0, A]. ôÁË ËÁË
A
Z
1
dx
x
p
=
1
1−p
(A
1−p
− 1), p 6= 1,
ln A, p = 1,
ÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
+∞
R
1
dx
x
p
ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÒÉ p > 1 É ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÒÉ p 6 1.
ó×ÏÊÓÔ×Á ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ.
§3. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ                                                                           53

  ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÐÏ ÐÒÏ-
                                                           RA
ÍÅÖÕÔËÕ [a; +∞) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÅÄÅÌ (ÅÓÌÉ ÏÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ) lim    f (x) dx,
                                                                                        A→+∞ a
ÅÇÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
                                  Z+∞               ZA
                                     f (x) dx = lim    f (x) dx.                                     (1)
                                                      A→+∞
                                  a                              a

÷ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÜÔÏÔ ÐÒÅÄÅÌ ËÏÎÅÞÅÎ, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ (1) ÓÈÏÄÉÔ-
ÓÑ, ÅÓÌÉ ÐÒÅÄÅÌ (1) ÂÅÓËÏÎÅÞÅÎ ÉÌÉ ×Ï×ÓÅ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ
ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
                                    +∞
                                    R dx                        1
   ðÒÉÍÅÒ 1. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌ       1+x2 . æÕÎËÃÉÑ f (x) = 1+x2 ÎÁ ÌÀÂÏÍ
                                                       0
ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [0, A] ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ
              Z+∞                                ZA
                        1                               dx                  π
                             dx = lim                       = lim arctg A =   .
                      1 + x2     A→+∞                 1 + x2 A→+∞           2
              0                                  0

ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÓÈÏÄÉÔÓÑ É ÅÇÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÒÁ×ÎÁ π2 .
                                   +∞
  ðÒÉÍÅÒ 2. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
                                    R
                                       sin x dx. æÕÎËÃÉÑ f (x) = sin x ÉÎ-
                                                           0
ÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁ ÌÀÂÏÍ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [0, A]. ôÁË ËÁË
                                       ZA
                                 lim        sin x dx = lim (− cos A)
                             A→+∞                              A→+∞
                                       0
                                                                       +∞
                                                                       R
ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÔÏ ÐÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÉÎÔÅÇÒÁÌ                                   sin x dx ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
                                                                        0
                                                        +∞
                                                                dx                       1
  ðÒÉÍÅÒ 3. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
                                                        R
                                                                xp
                                                                   .   æÕÎËÃÉÑ f (x) =   xp
                                                                                              ÉÎÔÅÇÒÉÒÕ-
                                                           1
ÅÍÁ ÎÁ ÌÀÂÏÍ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [0, A]. ôÁË ËÁË
                             ZA                  1
                                                    (A1−p − 1), p 6= 1,
                                            
                                  dx            1−p
                                     =
                                  xp            ln A,           p = 1,
                             1

              +∞
                      dx
              R
ÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ           xp   ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÒÉ p > 1 É ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÒÉ p 6 1.
                  1
  ó×ÏÊÓÔ×Á ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ.

Страницы