Сборник задач по высшей математике. Часть IV. Интегралы. Дифференциальные уравнения. Самохин А.В - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÏÎÑÔÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ 61
ÇÄÅ c
1
É c
2
¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ.
äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅ x × ÌÅ×ÕÀ ÞÁÓÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (4):
d
2
x
dt
2
+ k
2
x = −ck
2
cos kt − c
2
k
2
sin kt + c
1
k
2
cos kt + c
2
k
2
sin kt + g = g.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÆÕÎËÃÉÑ x = c
1
cos kt + c
2
sin kt +
g
k
2
ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÀ (4).
ðÏÓËÏÌØËÕ x ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ Ä×ÕÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ, ÔÏ ÄÌÑ ÐÏÌÕ-
ÞÅÎÉÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÚÁËÏÎÁ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÎÕÖÎÏ ÚÁÄÁÔØ Ä×Á ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ
ÕÓÌÏ×ÉÑ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÎÁÊÄÅÍ ÚÁËÏÎ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÇÒÕÚÁ, ÅÓÌÉ × ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅ-
ÎÉ t = 0 ÅÇÏ ÏÔËÌÏÎÉÌÉ ÎÁ ×ÅÌÉÞÉÎÕ x É ÐÒÉÄÁÌÉ ÅÍÕ ÓËÏÒÏÓÔØ v
0
. ôÏÇÄÁ
ÐÏÌÕÞÉÍ
x
0
= c
1
+
g
k
2
⇒ c
1
= x
0
−
g
k
2
.
äÁÌÅÅ
dx
dt
= −c
1
k sin kt + c
2
k cos kt.
v
0
= c
2
k ⇒ c
2
=
v
0
k
.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÓËÏÍÙÊ ÚÁËÏÎ Ä×ÉÖÅÎÉÑ
x =
x
0
−
g
k
2
cos kt +
v
0
k
sin kt +
g
k
2
.
÷ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÄÌÑ ÉÓËÏÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÉÓËÏÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ.
4.2. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ Ó×ÑÚÙ×ÁÅÔ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ, ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÎÅ-
ÚÁ×ÉÓÉÍÕÀ ÐÅÒÅÍÅÎÎÕÀ.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. ðÏÒÑÄËÏÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÐÏÒÑÄÏË ÎÁÉ×ÙÓÛÅÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ, ×ÈÏÄÑÝÅÊ × ÄÉÆÆÅ-
ÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 3. æÕÎËÃÉÑ y = y(x), ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÉÎÔÅÒ-
×ÁÌÅ (a, b), ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÅÓÌÉ ÐÏÓÌÅ
ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ ÜÔÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ É ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÏÎÏ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ
× ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï ÎÁ ×ÓÅÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ.
÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÒÅÛÅÎÉÅ y = y(x) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
ÕÄÁÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ × ×ÉÄÅ ÎÅÑ×ÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ ϕ(x, y) = 0.
÷ ÔÅÈ ÓÌÕÞÁÑÈ, ËÏÇÄÁ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ϕ(x, y) = 0 ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÒÅÛÉÔØ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ
§4. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÏÎÑÔÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ                              61

ÇÄÅ c1 É c2 ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ.
   äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅ x × ÌÅ×ÕÀ ÞÁÓÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (4):
    d2 x
       2
         + k 2x = −ck 2 cos kt − c2 k 2 sin kt + c1 k 2 cos kt + c2 k 2 sin kt + g = g.
    dt
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÆÕÎËÃÉÑ x = c1 cos kt + c2 sin kt + kg2 ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÀ (4).
   ðÏÓËÏÌØËÕ x ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ Ä×ÕÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ, ÔÏ ÄÌÑ ÐÏÌÕ-
ÞÅÎÉÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÚÁËÏÎÁ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÎÕÖÎÏ ÚÁÄÁÔØ Ä×Á ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ
ÕÓÌÏ×ÉÑ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÎÁÊÄÅÍ ÚÁËÏÎ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÇÒÕÚÁ, ÅÓÌÉ × ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅ-
ÎÉ t = 0 ÅÇÏ ÏÔËÌÏÎÉÌÉ ÎÁ ×ÅÌÉÞÉÎÕ x É ÐÒÉÄÁÌÉ ÅÍÕ ÓËÏÒÏÓÔØ v 0 . ôÏÇÄÁ
ÐÏÌÕÞÉÍ
                                        g                   g
                          x0 = c1 + 2 ⇒ c 1 = x 0 − 2 .
                                       k                    k
äÁÌÅÅ
                          dx
                               = −c1 k sin kt + c2 k cos kt.
                           dt
                                                     v0
                                v 0 = c2 k ⇒ c 2 = .
                                                      k
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÓËÏÍÙÊ ÚÁËÏÎ Ä×ÉÖÅÎÉÑ
                                   g            v0            g
                    x = x0 − 2 cos kt +                sin kt + 2 .
                                   k              k             k
   ÷ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÄÌÑ ÉÓËÏÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÉÓËÏÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ.

4.2. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ

   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ Ó×ÑÚÙ×ÁÅÔ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ, ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÎÅ-
ÚÁ×ÉÓÉÍÕÀ ÐÅÒÅÍÅÎÎÕÀ.
   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. ðÏÒÑÄËÏÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÐÏÒÑÄÏË ÎÁÉ×ÙÓÛÅÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ, ×ÈÏÄÑÝÅÊ × ÄÉÆÆÅ-
ÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ.
   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 3. æÕÎËÃÉÑ y = y(x), ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÉÎÔÅÒ-
×ÁÌÅ (a, b), ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÅÓÌÉ ÐÏÓÌÅ
ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ ÜÔÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ É ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÏÎÏ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ
× ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï ÎÁ ×ÓÅÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ.
   ÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÒÅÛÅÎÉÅ y = y(x) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
ÕÄÁÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ × ×ÉÄÅ ÎÅÑ×ÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ ϕ(x, y) = 0.
÷ ÔÅÈ ÓÌÕÞÁÑÈ, ËÏÇÄÁ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ϕ(x, y) = 0 ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÒÅÛÉÔØ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ

Страницы