ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
15
:}1,...,2,1{ −+ mn подмножество натуральных чисел Ciii
n
∈},...,,{
21
соответству-
ет той последовательности
,},...,{
11
Bxx
mn
∈
−+
у которой .1...
21
=
===
n
iii
xxx
Но =)(
C
N
.
1
n
mn
C
−+
Следовательно, .)()()(
1
n
nm
n
m
CCNBNDNf
−+
====
Теорема 11 доказана.
Пример 15. Сколько имеется костей в обычной игре «домино»?
Решение. Кости домино можно рассматривать как сочетания с повторениями по две
из семи цифр множества }.6,5,4,3,2,1,0{ Число всех таких сочетаний равно
.28
2
87
!2!6
!8
2
8
2
7
=
⋅
=
⋅
== Cf
§ 10. Бином Ньютона и биномиальные тождества
Теорема 12.
Для любых чисел
a
и b и для любого натурального
n
справедлива формула
∑
=
−
=+
n
k
kknk
n
n
baCba
0
.)( (19)
Доказательство. Перемножим последовательно ( ba
+
) ( 1
−
n ) раз. Тогда полу-
чим сумму
n
2 слагаемых вида ,...
21 n
ddd
⋅
⋅
⋅
где ),...,2,1( nid
i
=
равно либо ,a
либо .b Разобъем все слагаемые на 1
+
n подмножество
,,...,,
10 n
BBB
отнеся к
подмножеству
k
B все те произведения, в которых b встречается множителем
k
раз, а a встречается )(
k
n − раз. Ясно, что каждый элемент множества
−
k
B это
перестановка с повторением, содержащая n элементов, среди которых
k
раз
встречается b и )(
k
n − раз -
.a
Следовательно,
.
)!(!
!
),()(
k
nnk
C
knk
n
knkCBN =
−⋅
=−=
Каждое слагаемое из
k
B равно
kkn
ba ⋅
−
, поэтому
∑∑
==
−−
==+
n
k
n
k
kknk
n
kkn
k
n
baCbaBNba
00
.)()( Теорема 12 дока-
зана.
Замечание.
Теорему 12 называют биномиальной теоремой, числа −
k
n
C биноми-
альными коэффициентами, а формулу (19) - формулой бинома Ньютона.
Числа
k
n
C имеют ряд важных свойств. Укажем некоторые из них и установим
несколько интересных тождеств, которым удовлетворяют биномиальные коэффици-
енты.
Свойство 1. .
kn
n
k
n
CC
−
= (20)
Равенство (20) легко проверяется вычислением.
Свойство 2.
.
1
1
−
+
+=
k
n
k
n
k
n
CCC
Доказательство
.
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
+⋅
−⋅−
=
−+⋅−
+
−⋅
=+
−
knkknk
n
knk
n
knk
n
CC
k
n
k
n
1
11
)!()!1(
!
)!1()!1(
!
)!(!
!
1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
