ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
21
∑∑
∞
=
∞
=
−
===
00
11
,
1
1
)(
nn
nnn
x
xxfxS
следовательно, .
)1(
1
)(
m
m
x
xS
−
=
Из теории сте-
пенных рядов известно, что
++
−
−
+
−
++=−−∈∀
−
....
!3
)2)(1(
!2
)1(
1)1(:)1;1(
32
x
mmm
x
mm
mxxx
m
∑
∞
=
−+
==+
−+−
+
0
1
),(......
!
)1)....(1(
n
m
nn
nm
n
xSxCx
n
nmmm
значит, из единственности разложения функции в ряд Маклорена, следует
.
1
n
nm
n
m
Cf
−+
= Задача решена.
§ 14. Понятие о методе траекторий
Метод траекторий состоит в том, что для комбинаторной задачи указывается
геометрическая интерпретация, которая сводит задачу к подсчету числа путей (тра-
екторий), обладающих определенным свойством. Этим методом фактически была
решена задача в примере 8.
Проиллюстрируем метод траекторий еще на одном примере.
Пример 19. Возле кассы собрались mn
+
человек, причем
n
из них имеют монеты
стоимостью 50 копеек, а другие имеют лишь по рублю ).( nm
≤
Сначала в кассе нет
денег, билет стоит 50 копеек. Сколько всего имеется способов размещения всех по-
купателей в очереди так, чтобы ни один из них не ждал сдачи?
Решение. Допустим, что покупатели расположены в очереди некоторым образом.
Пусть
⎩
⎨
⎧
−−
−
=
.,1
,50,1
рубльимеетпокупательйiесли
копеекимеетпокупательйiесли
i
ε
Рассмотрим сумму
∑
=
=++=
k
i
ikk
s
1
1
....
εεε
(33)
Ясно, что значение
k
s
, определяемое формулой (33), является разностью между
количеством пятидесятикопеечных монет и количеством рублей, которые будут по-
даны в кассу первыми
k
покупателями из очереди.
Введем на плоскости декартову прямоугольную систему координат Ox
y
. По-
строим в ней точки
k
A
с координатами
),...,2,1();( nmksk
k
+
=
и рассмотрим ло-
маную, соединяющую точку )0;0(O с точкой );( mnmnA
mn
−
+
+
и проходящую че-
рез точки
121
,...,,
−+mn
AAA
. Будем называть ломаную траекторией, соответствую-
щей данному способу размещения покупателей в очереди. Каждая траектория со-
стоит из
mn + отрезков, n из которых направлены вверх, а m направлены вниз.
Если указать номера тех отрезков, которые направлены вверх, то тем самым траек-
тория будет полностью определена. Следовательно, общее число траекторий, т.е.
число возможных размещений покупателей в очереди, равно
n
mn
C
+
.
Траектории, соответствующие тем способам размещения покупателей, при
которых ни один покупатель не ждет сдачи, не имеют общих точек с прямой 1
−
=
y .
Действительно, если для некоторого ,1
−
=
k
sk то, в лучшем случае, это означает,
