Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

118
)1(
k
Е
1
,
)2(
i
Е
2
.
Если существует такое k, что для всех i выполняется
yсловие
)1(
k
)2(
i
Ø, то множество Е
1
содержит точки не
лежащие в множестве Е
2
, что противоречит условию Е
1
Е
2
Из полученного противоречия следует, что
:ik
)1(
k
)2(
i
Ø.
Пусть
)1(
k
= (
)1(
k
a
;
)1(
k
b
) и
)1(
k
)2(
i
Ø, причем все
внутренние точки интервала
)1(
k
принадлежат множеству Е
1
, а
следовательно и множеству Е
2
. Предположим, что точка
)1(
k
a
не
лежит в интервале
)2(
i
, тогда она не принадлежит интерва-
лу
вместе с некоторой окрестностью, чего быть не может.
Аналогично убеждаемся , что
)1(
k
b
. Итак, концы интерва-
ла
)1(
k
принадлежат множеству Е
2
. Это позволяет утверждать,
что
:ik
)1(
k
)2(
i
.
2. Линейная мера ограниченного множества Е при-
нимает только неотрицательные значения.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Если Е – открытое множество, то справедливость нера-
венства
)(0 Еm
следует из самого определения меры (вполне
очевидно, что
0)(
k
k
m
). Пусть Е – замкнутое множество.
Линейная мера замкнутого множества (по определению) вычис-
ляется по формуле:
m(Е) = b – a – m (
)(Е
С
).
Но, так как
)(Е
С
то, согласно первому свойству
имеем:
)())((
mЕm
С
. 
                                (k1)  Е1, (i2 )  Е2.
       Если существует такое k, что для всех i выполняется
yсловие (k1)  (i2 )  Ø, то множество Е1 содержит точки не
лежащие в множестве Е2 , что противоречит условию Е1  Е2
Из полученного противоречия следует, что
                           k i : (k1)  (i2 )  Ø.
       Пусть (k1) = ( a k(1) ; bk(1) ) и (k1)  (i2 )  Ø,   причем все
внутренние точки интервала  принадлежат множеству Е1 , а
                                      (1)
                                       k

следовательно и множеству Е2. Предположим, что точка a k(1) не
лежит в интервале (i2 ) , тогда она не принадлежит интерва-
лу (i2 ) вместе с некоторой окрестностью, чего быть не может.
Аналогично убеждаемся , что bk(1)  (i2 ) . Итак, концы интерва-
ла (k1) принадлежат множеству Е2 . Это позволяет утверждать,
что k i : (k1)  (i2 ) .
       2.     Линейная мера ограниченного множества Е при-
нимает только неотрицательные значения.
       Доказательство
       Если Е – открытое множество, то справедливость нера-
венства 0  m( Е ) следует из самого определения меры (вполне
очевидно, что    m(
                 k
                          k   )  0 ). Пусть Е – замкнутое множество.
Линейная мера замкнутого множества (по определению) вычис-
ляется по формуле:
                    m(Е) = b – a – m (  (Е ) ).  С
       Но, так как    С (Е)              то, согласно первому свойству
имеем: m( С (Е))  m( ) .


                                            118

Страницы