Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 13 стр.

UptoLike

Составители: 

14
Необходимым и достаточным условием существования
отображения f
1
является биективность отображения f. Справед-
лива следующая формула: (f
g)
1
= g
1
f
1
.
Замечание. Обозначения прообраза множества и обрат-
ной функции совпадают, но смысл их различен. В первом случае
он применяется к множеству и значением является множество,
во втором к элементу, и значением является элемент. Прооб-
раз множества существует всегда, а обратная функция не всегда.
1.2. Взаимнооднозначные соответствия.
Эквивалентность множеств
Среди различных видов соответствий между двумя множе-
ствами особо выделим взаимнооднозначное (иньективное) соот-
ветствие. Пусть А и В – два множества.
Определение 12
Правило F, которое каждому элементу а множества А
соотносит один и только один элемент b множества В, причём
каждый элемент b
В оказывается соотнесённым одному и
только одному а
А, называют взаимнооднозначным соответ-
ствием (иньективным отображением) между множествами А и
В.
Определение 13
Если между множествами А и В можно установить вза-
имнооднозначное соответствие, то говорят, что эти множества
эквивалентны ( и пишут: А ~ В)
(
)~())():( BАиньективноFBAF
)
Приведём некоторые простые свойства эквивалентности:
свойство рефлексивности: всегда А ~ А;
свойство симметричности: если А ~ В, то В ~ А;
свойство транзитивности: если
А ~ В, а В ~С, то А ~ С.
Теорема 1
       Необходимым и достаточным условием существования
отображения f 1 является биективность отображения f. Справед-
лива следующая формула: (fg)1= g1f1.
       Замечание. Обозначения прообраза множества и обрат-
ной функции совпадают, но смысл их различен. В первом случае
он применяется к множеству и значением является множество,
во втором – к элементу, и значением является элемент. Прооб-
раз множества существует всегда, а обратная функция не всегда.


       1.2. Взаимнооднозначные соответствия.
       Эквивалентность множеств

    Среди различных видов соответствий между двумя множе-
ствами особо выделим взаимнооднозначное (иньективное) соот-
ветствие. Пусть А и В – два множества.
    Определение 12
        Правило F, которое каждому элементу а множества А
соотносит один и только один элемент b множества В, причём
каждый элемент b  В оказывается соотнесённым одному и
только одному а  А, называют взаимнооднозначным соответ-
ствием (иньективным отображением) между множествами А и
В.
    Определение 13
       Если между множествами А и В можно установить вза-
имнооднозначное соответствие, то говорят, что эти множества
эквивалентны ( и пишут: А ~ В)
       ( (F : A  B )     ( F  иньективно))  ( А ~ B)
                                )
    Приведём некоторые простые свойства эквивалентности:
 свойство рефлексивности: всегда А ~ А;
 свойство симметричности: если А ~ В, то В ~ А;
 свойство транзитивности: если
                    А ~ В, а В ~С, то А ~ С.
       Теорема 1



                                 14