Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 143 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

144
Д о к а з а т е л ь с т в о
Пусть
n
A
1
и
n
B
1
, где
Nn
, тогда спра-
ведливо неравенство:
)(xf
. Составим интегральные
суммы Лебега, дробя каждый отрезок
;
. Так как
i
y
, (где
)(,;1
_
ii
xfyni
), то
1
0
1
n
i
iii
yfymEy
,
то есть
mESmE
, переходя в последнем неравенст-
ве к пределу, получим:
mE
n
A )
1
(
E
dxxfL )(
mE
n
B )
1
(
.
В силу произвольности числа n, теорема доказана.
3. Если на измеримом множестве Е таком, что
21
EEE
и
21
EE
, задана ограниченная измеримая
функция f, то
E
dxxfL )(
=
1
)(
E
dxxfL
+
2
)(
E
dxxfL
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
E
dxxfL )(
=
1
0
lim
iii
yfymEy
=
=
11
0
lim
iii
yfymEy
+
12
0
lim
iii
yfymEy
=
=
1
)(
E
dxxfL
+
2
)(
E
dxxfL
. 
            Доказательство
                      1             1
                        и   B  , где n  N , тогда спра-
            Пусть   A 
                      n             n
ведливо неравенство:   f (x)   . Составим интегральные
суммы Лебега, дробя каждый отрезок  ;   .     Так как
                                                   _
  yi   ,                 (где            i  1; n ,       yi  f ( xi ) ),                     то
    n 1
    mE y
    i 0
                  i    f  yi 1  

                  n 1                                              n 1
                yi mE yi  f  yi 1                           mE y      i    f  yi 1  ,
                  i 0                                              i 0

то есть   mE  S    mE , переходя в последнем неравенст-
ве к пределу, получим:
                              1                               1
                         ( A  )  mE  L  f ( x)dx  ( B  )  mE .
                              n             E
                                                              n
В силу произвольности числа n, теорема доказана.

      3. Если на измеримом множестве Е таком, что
E  E1  E2 и E1  E2   , задана ограниченная измеримая
функция f, то
              L  f ( x)dx = L  f ( x)dx + L  f ( x)dx .
                                                                          
                                 E                     E1                   E2

            Доказательство

                         L  f ( x)dx = lim
                                             0
                                                 yi mE yi                 f  yi 1  =
                                 E


= lim
  0
            y mE  y
              i          1   i        f  yi 1  + lim  yi mE2  yi  f  yi 1  =
                                                        0


                                       = L  f ( x)dx + L  f ( x)dx .
                                                                   
                                             E1                    E2




                                                            144

Страницы