Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 146 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

147
ограниченные функции f и g такие, что mE(
)gf
=0 , то
E
dxxfL )(
=
E
dxxgL )(
Д о к а з а т е л ь с т в о
Пусть Е
1
= E(
)gf
, тогда справедливы равенства:
E
dxxfL )(
=
1
\
)(
EE
dxxfL
+
1
)(
E
dxxfL
,
E
dxxgL )(
=
1
\
)(
EE
dxxgL
+
1
)(
E
dxxgL
,
из сравнения которых, следует:
а) первые слагаемые их правых частей равны, поскольку
совпадают функции f и g на множестве: E \ E
1
;
б) вторые слагаемые равны нулю на основании свойства
1.
3.4. Сравнение интегралов Римана и Лебега
Теорема 29
Если функция f интегрируема по Риману на промежутке
[a; b], то она интегрируема по Лебегу на промежутке
[a; b]. Причем интегралы функции на промежутке [a; b] по
Риману и по Лебегу равны.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Пусть Е – множество точек разрыва (если таковые име-
ются) функции f на промежутке S=[a;b], причем мера этого
множества mE=0.
Докажем сначала, что множество M = S(f
A) измери-
мо, для произвольного конечного действительного числа А.
Измеримость множества М следует из измеримости
множеств
М
и
, так как
MSMMM //
, где
М
- замыкание множества М,
M
- множество предельных то-
чек множества М. Разность двух измеримых множеств есть
множество измеримое. Множество
М
замкнуто и, значит, изме-
римо. 
ограниченные функции f и g такие, что mE( f  g ) =0 , то
                        L  f ( x)dx = L  g ( x)dx
                            E                E
       Доказательство
       Пусть Е1= E( f  g ) , тогда справедливы равенства:
              L  f ( x)dx = L   f ( x)dx + L  f ( x)dx ,
                  E                E \ E1             E1

               L  g ( x)dx = L   g ( x)dx + L  g ( x)dx ,
                  E                E \ E1             E1
из сравнения которых, следует:
       а) первые слагаемые их правых частей равны, поскольку
совпадают функции f и g на множестве: E \ E1;
       б) вторые слагаемые равны нулю на основании свойства
1.


       3.4. Сравнение интегралов Римана и Лебега

        Теорема 29
        Если функция f интегрируема по Риману на промежутке
        [a; b], то она интегрируема по Лебегу на промежутке
[a; b]. Причем интегралы функции на промежутке [a; b] по
Риману и по Лебегу равны.
        Доказательство
        Пусть Е – множество точек разрыва (если таковые име-
ются) функции f на промежутке S=[a;b], причем мера этого
множества mE=0.
        Докажем сначала, что множество M = S(f  A) измери-
мо, для произвольного конечного действительного числа А.
        Измеримость множества М следует из измеримости
множеств М и M   S / M  , так как M  M / M S / M  , где
М - замыкание множества М, M  - множество предельных то-
чек множества М. Разность двух измеримых множеств есть
множество измеримое. Множество М замкнуто и, значит, изме-
римо.

                                      147

Страницы