Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 83 стр.

метрического пространства, и линии, и функции, то вводимые
ниже определения имеют более широкую область применения.
Определение предела числовой последовательности опирается
на понятие метрики.
       Определение 45
       Точку а метрического пространства Е называют преде-
лом последовательности точек {xn} из пространства Е, если
для любого положительного действительного числа ε можно
указать такой номер N , что при всех n  N выполняется нера-
венство  xn , a    . При этом пишут lim xn .
                                          n 

То есть: ( lim xn ⇔
         n 
            ⇔ ((∀ ε > 0) (∃N (ε) ) (∀ n>N) (∀ xn ∈ {xn} ∩ Е ) :
                             : (  xn , a    )))
       Определение 46
       Точку а ∈ Е называют пределом последовательности
точек {xn} из пространства Е, если числовая последователь-
ность {  a, xn  } стремится к нулю при n   , то при этом
пишут
                              lim  a, xn   0 .
                            n

      Определение 47
      Последовательность {xn} называют сходящейся, если
существует конечный предел lim xn по метрике пространства
                              n 
Е.
       При этом пишут ( xn  a ) или lim xn  a и говорят, что
                                          n
{xn} сходится к точке a по метрике пространства Е.
       Определение 48
       Если последовательность {xn} не сходится ни к какой
точке из пространства Е, её называют расходящейся.
       Неравенство  xn , a    означает, что x n находится в
 - окрестности точки a . Поэтому можно дать и «геометриче-
ское» определение предела.
       Определение 49

                                     84