Составители:
Рубрика:
3
ВВЕДЕНИЕ
Решение оптимизационной задачи в общем случае заключается в опреде-
лении таких значений входных переменных исследуемого объекта, которым
соответствует наилучшее (минимальное или максимальное) значение целевой
функции. Технологические системы, как правило, являются многомерными, с
большим количеством входных факторов, на значение которых к тому же на-
кладываются дополнительные ограничения. Это требует
использования мето-
дов многомерной условной оптимизации. Многие из данных методов, однако,
предполагают сведение задачи к безусловной оптимизации путем преобразова-
ния целевой функции с дальнейшим применением соответствующих процедур.
Поэтому изучение методов поиска экстремума функций нескольких перемен-
ных без ограничений является не менее важной задачей.
В настоящих рекомендациях рассматривается постановка задачи много-
мерной безусловной оптимизации, аналитический анализ целевой функции,
теоретические основы часто используемых на практике численных методов -
метода крутого восхождения, симплекс - метода и метода Хука и Дживса. Для
наилучшего понимания сущности и особенностей этих методов, формирования
навыков корректного задания входных параметров их работа иллюстрируется
на примере функций двух переменных, когда возможна геометрическая интер
-
претация решения задачи.
В прил. 1 – 5 приводится пример выполнения практической работы, а так-
же варианты индивидуальных заданий.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть задана функция n действительных переменных
f(x
1
, x
2
, x
3
, ..., x
n
) = f(x), определенная на множестве X ∈ R
n
,
где x - вектор- столбец, обозначающий точку в n-мерном евклидовом простран-
стве с координатами x
1
, x
2
, x
3
, ..., x
n
.
Функция f(x) имеет локальный минимум в точке x
*
∈ X, если существует
окрестность точки x
*
такая, что f(x
*
) ≤ f(x) во всех точках этой окрестности. В
случае глобального минимума в точке x
*
для всех x ∈ R
n
справедливо неравен-
ство f(x
*
) ≤ f(x).
Далее будем рассматривать задачу отыскания точек минимума функции
f(x), т.е. f(x) → min , x ∈ R
n
. Для приведения же задачи максимизации к за-
даче минимизации достаточно изменить знак целевой функции.
2. АНАЛИТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ
Необходимым условием существования экстремума функции нескольких
переменных в точке x* является равенство нулю всех частных производных в
этой точке:
3
ВВЕДЕНИЕ
Решение оптимизационной задачи в общем случае заключается в опреде-
лении таких значений входных переменных исследуемого объекта, которым
соответствует наилучшее (минимальное или максимальное) значение целевой
функции. Технологические системы, как правило, являются многомерными, с
большим количеством входных факторов, на значение которых к тому же на-
кладываются дополнительные ограничения. Это требует использования мето-
дов многомерной условной оптимизации. Многие из данных методов, однако,
предполагают сведение задачи к безусловной оптимизации путем преобразова-
ния целевой функции с дальнейшим применением соответствующих процедур.
Поэтому изучение методов поиска экстремума функций нескольких перемен-
ных без ограничений является не менее важной задачей.
В настоящих рекомендациях рассматривается постановка задачи много-
мерной безусловной оптимизации, аналитический анализ целевой функции,
теоретические основы часто используемых на практике численных методов -
метода крутого восхождения, симплекс - метода и метода Хука и Дживса. Для
наилучшего понимания сущности и особенностей этих методов, формирования
навыков корректного задания входных параметров их работа иллюстрируется
на примере функций двух переменных, когда возможна геометрическая интер-
претация решения задачи.
В прил. 1 – 5 приводится пример выполнения практической работы, а так-
же варианты индивидуальных заданий.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть задана функция n действительных переменных
n
f(x1, x2, x3, ..., xn) = f(x), определенная на множестве X ∈ R ,
где x - вектор- столбец, обозначающий точку в n-мерном евклидовом простран-
стве с координатами x1, x2, x3, ..., xn .
Функция f(x) имеет локальный минимум в точке x*∈ X, если существует
окрестность точки x* такая, что f(x*) ≤ f(x) во всех точках этой окрестности. В
n
случае глобального минимума в точке x* для всех x ∈ R справедливо неравен-
ство f(x*) ≤ f(x).
Далее будем рассматривать задачу отыскания точек минимума функции
n
f(x), т.е. f(x) → min , x ∈ R . Для приведения же задачи максимизации к за-
даче минимизации достаточно изменить знак целевой функции.
2. АНАЛИТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ
Необходимым условием существования экстремума функции нескольких
переменных в точке x* является равенство нулю всех частных производных в
этой точке:
