Специальная математика. Соловьев А.Е. - 29 стр.

Нульместный предикат, то есть предикат, не содержащий переменных - высказывание.

Операции:
Из элементарных (атомарных) предикатов с помощью логических операций можно
получить сложные предикаты.
Здесь уместно сделать важное содержательное замечание:
Язык предикатов - наиболее приближенный к естественным языкам формальный
математический (логический) язык.

В логике предикатов к операциям, имеющим место в логике высказываний, добавляются
операции навешивания кванторов.
 - квантор общности. x P(x) - "для всех х - P(x)".
  - квантор существования. x P(x) - "есть такие х, что P(x)".
( ! или 1 - существует и притом единственный).
Кванторы связывают соответствующие переменные. Связанные переменные можно
воспринимать как константы, а несвязанные переменные - свободные переменные -
как собственно переменные.

Содержательные примеры предикатов :
R(x) - х любит кашу (одноместный предикат).
x R(x) - все любят кашу (нульместный предикат - высказывание).
x R(x) - некоторые (есть такие) х любят кашу.
L(x, y) - х любит y (двухместный предикат).
xy L(x, y) - Существует x, который любит всех y.
x ( C(x)  O(x) ) - Все студенты C(x) отличники O(x).
x ( C(x) & O(x) ) - Некоторые студенты C(x) отличники O(x).
Здесь есть повод поразмышлять об использовании операций  и & в двух последних
высказываниях.

Для конечных областей можно операции навешивания кванторов выразить через
конъюнкцию и дизъюнкцию:
Пусть х {a1, a2, ... , an}
x P(x) = P(a1)  P(a2)  ...  P(an).
x P(x) = P(a1)  P(a2)  ...  P(an).

                 2.2.1. Основные равносильности для предикатов

Для нас имеют смысл и значение только интерпретированные предикаты. То есть
предикаты, которым поставлены в соответствия некоторые отношения (одномерным
предикатам – свойства). В результате, предикаты дают некоторые содержательные
высказывания относительно объектов рассматриваемых областей. Если соответствующее
высказывание истинно, то говорят, что оно выполняется в данной интерпретации.
Предикат называется общезначимым, если он истинен в любой интерпретации.

1. ¬x P(x)  x ¬P(x)
2.¬x P(x)  x ¬P(x)
3. ¬x ¬P(x)  x P(x)
4. ¬x ¬P(x)  x P(x)
5. x P(x)  Q )         (предикат Q не зависит от x.)

                                           — 29 —