Специальная математика. Соловьев А.Е. - 32 стр.

Ф4 : Из схемы аксиом 1, при А = А, В = А, получим:
(А  (А  А))
из Ф3, Ф4 по m.p. получаем Ф5: A  A

2.3.2. Непротиворечивость и полнота аксиоматической теории исчисления
                             высказываний

Нет ничего проще создания аксиоматических теорий! Как сказал один известный математик:
"Аксиоматизация сродни воровству!".
Определив свой язык, придумав свои аксиомы и правила вывода, вы получаете
свою аксиоматическую теорию.
Например, в качестве языка возьмем любые последовательности символов @, единственной
аксиомой объявим один символ @, а правило вывода будет
@  @@.
Тогда в данной теории будет выводима любая последовательность из одного или более
символов @.
Одно плохо, толку в таких теориях обычно никакого нет…

А вот рассмотренная ранее аксиоматическая теория исчисления высказываний имеет ряд
важных (интересных, замечательных) свойств. Формулы этой теории можно
интерпретировать как формулы алгебры высказываний, записанные с использованием
(функционально полного набора!) операций:  и  (отрицания и импликации).
Для этой теории доказано, что она полна. То есть в этой теории могут быть выведены все
тавтологии логики высказываний (которые могут быть записаны с помощью  и ).
Более того, данная теория непротиворечива. То есть в этой теории не могут быть
выведены какая-то формула Ф и ее отрицание (Ф).
Докажем непротиворечивость этой теории.
Прямой проверкой доказывается, что все аксиомы, получаемые из схем аксиом, являются
тавтологиями. Например, для первой схемы аксиом:

А  (В  А)

А   В   Ф
0   0   1
0   1   1
1   0   1
1   1   1

А из тавтологий с помощью m.p. ( A , A  B  B ) можно получить только
тавтологии. А поскольку любая полученная в этой теории формула Ф есть тавтология,
то ее отрицание Ф было бы противоречием, которое не выводимо.
Полнота и непротиворечивость очень важные свойства. Увы, большинство более сложных
аксиоматических теорий не может похвастаться полнотой (открытый Геделем принцип
неполноты). В них могут существовать формулы, для которых невозможно доказать как
выводимость, так и невыводимость…
Что же касается непротиворечивости, то это очень жесткое требование.
Стоит допустить в теории возможность хотя бы одного противоречия (для одной формулы
Ф допустит возможность вывода и Ф), как теория становится бессмысленной, так как
тогда в ней можно вывести любую формулу. (Из ложной посылки может следовать что
угодно).
                                       — 32 —