Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

73
Будем полагать, что ось диполя коллинеарна оси z. Влияние самой
скважины на электромагнитное поле учитывать не будем. В этом случае
электромагнитные поля полностью могут быть вычислены, если известно
решение для одной компоненты
(, )
z
Arz
векторного потенциала A=(0, 0, A
z
).
Напомним, что электрическое и магнитное поле связано с вектором-
потенциалом посредством соотношений
rot
=
BA
,
1
()
2
igraddiv
k
ω
=−
EA A
,
поэтому
2
1
A
z
E
x
xz
µσ
∂
=−
∂∂
,
2
1
A
z
E
y
y
z
µσ
∂
=−
∂
∂
,
2
1
2
A
z
EiA
zz
z
ω
µσ
∂
=−
∂
, (2.1.3.1)
11
,
AA
z
z
HH
xy
y
x
µµ
∂
==−
∂
∂
.
Непрерывность
Е
х
, Е
у
, Н
х
и Н
у
на границах разрыва свойств среды будет
обеспечена, если на этих границах принять условия сопряжения в следующем
виде
11
0, 0
A
z
A
z
z
µµσ



∂
=
=
∂
.
Положим µ = const, тогда
условия сопряжения несколько упрощаются:
1
0, 0
A
z
A
z
z
σ





∂
=
=
∂
.
Очевидно, в однородном пространстве с волновым числом
k компонента
z
A
равна
()
||
,
0
44
0
22 22
:(), .
pz h
kR
Ie I e
o
AJrd
z
Rp
Rr zhp k
µµ
λ
λλ
ππ
λ
−
−
−
∞
==
∫
=+− = +
(2.1.3.2) 
      Будем полагать, что ось диполя коллинеарна оси z. Влияние самой
скважины на электромагнитное поле учитывать не будем. В этом случае
электромагнитные поля полностью могут быть вычислены, если известно
решение для одной компоненты Az (r , z ) векторного потенциала A=(0, 0, Az).
Напомним, что электрическое и магнитное поле связано с вектором-
потенциалом посредством соотношений
                                         B = rotA ,
                                             1
                             E = iω (A −        grad divA) ,
                                            k2
 поэтому
                1 ∂ 2 Az              1 ∂ 2 Az                    1 ∂ 2 Az
        Ex = −           ,E =−                   , E = iω Az −             ,    (2.1.3.1)
               µσ ∂x∂z y            µσ ∂y∂z z                    µσ ∂z 2
                                     1 ∂Az              1 ∂Az
                           Hx =             , Hy = −           .
                                    µ ∂y                µ ∂x
Непрерывность Ех , Еу, Нх и Ну на границах разрыва свойств среды будет
обеспечена, если на этих границах принять условия сопряжения в следующем
виде
                             1              1 ∂Az 
                              Az  = 0,                 =0.
                             µ              µσ ∂z 
Положим µ = const, тогда условия сопряжения несколько упрощаются:
                                              1 ∂Az 
                                Az  = 0,          =0.
                                              σ ∂z 
Очевидно, в однородном пространстве с волновым числом k компонента Az
равна
                                  I µ e− kR I µ ∞ e− p |z −h|
                          Azo =               =        λ           J (λr ) d λ,
                                  4π R          4π 0∫        p      0           (2.1.3.2)
                          R := r 2 + ( z − h)2 , p = λ 2 + k 2 .




                                           73

Страницы