Уравнения математической физики. Вельмисов П.А - 48 стр.

UptoLike

Составители:

Рубрика:

3.4. Постановка начально-краевых задач для волнового уравнения

Дифференциальные уравнения (3.4) - (3.8) имеют, вообще говоря, бес-

конечно много решений. Поэтому одного лишь уравнения движения для

определения формы струны (или стержня) или угла поворота стержня в

любой момент времени недостаточно. Необходимо еще задать начальные

и граничные условия.

Начальные условия состоят в том, что известна форма струны

(стержня) или угол поворота сечений стержня в начальный момент време-

ни и начальная скорость точек струны (стержня) или угловая скорость се-

чений стержня:

(3.9)

где ф(х) и ш(x) - известные функции.

Граничные условия указывают, что происходит на концах струны

(стержня) в любой момент времени. Различают три основных типа гра-

ничных условий, которые укажем, например, длялевогоконца.

1. Конец х =0движется (вращается) по заданному закону u(0, t) = м(t).

В частности, если конец закреплен, то граничное условие имеет вид:

3. Конец упруго закреплен. Это означает, что он может перемещаться

(или вращаться), но упругая сила (или упругий момент) закрепления вы-

зывает на этом конце усилие (момент), стремящееся вернуть сместившийся

конец в прежнее положение. Эта сила (или момент), согласно закону Гука,

пропорциональна смещению (или углу поворота)u(О,г); коэффициент

пропорциональности а называется коэффициентом жесткости закрепле-

ния:

(3.10)