Составители:
Рубрика:
3.5. Интегрирование тригонометрических
выражений
Любую рациональную функцию от sin x и cos x можно привести
к рациональной дроби с помощью замены
tg
x
2
= t
.Тогдаx =
2 arctg t, dx =
2dt
1+t
2
, cos x =
1 − t
2
1+t
2
, sin x =
2t
1+t
2
. Эта замена
называется универсальной тригонометрической подстановкой.
Пример 3.9
Вычислить интеграл
cos x +3sinx
cos x − 3sinx +3
dx =
tg
x
2
= t; dx =
2dt
1+t
2
cos x =
1 − t
2
1+t
2
;sinx =
2t
1+t
2
=
=
(1 − t
2
+6t)2 dt
(1 − t
2
− 6t +3+3t
2
)(1 + t
2
)
= −
t
2
− 6t − 1
(t
2
− 3t +2)(t
2
+1)
dt.
Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби (при-
мер 3.8)
t
2
− 6t − 1
(t − 1)(t − 2)(t
2
+1)
=
A
t − 1
+
B
t − 2
+
Ct + D
t
2
+1
;
t
2
−6t−1 ≡ A(t −2)(t
2
+1)+B(t −1)(t
2
+1)+(Ct+ D)(t−1)(t−2);
при t =1 ⇒−6=−2A ⇒ A =3,
при t =2 ⇒−9=5B ⇒ B = −9/5,
при t
3
⇒ 0=A + B + C ⇒ C = −6/5,
при t =0 ⇒−1=−2A −B +2D ⇒ D =8/5.
10
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
