Высшая математика. Неопределенный интеграл - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Применим универсальную подстановку tg
x
2
= t, x =2arctgt,
dx =
2 dt
1+t
2
, cos x =
1 − t
2
1+t
2
, sin x =
2t
1+t
2
. Получим
1−t
2
1+t
2
+
4t
1+t
2
1−t
2
1+t
2
−
2t
1+t
2
+1
2 dt
1+t
2
=
−1+t
2
− 4 t
(1 + t
2
)(t − 1)
dt.
Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби
−1+t
2
− 4 t
(1 + t
2
)(t − 1)
=
A
t − 1
+
Bt + C
t
2
+1
.
Следовательно t
2
− 4t − 1 ≡ A(t
2
+1)+(Bt + C)(t − 1).Откуда
при t =1 ⇒−4=2A ⇒ A = −2,
при t
0
⇒−1=A − C ⇒ C = −1,
при t
2
⇒ 1=A + B ⇒ B =3.
Остается проинтегрировать простейшие дроби
3t − 1
1+t
2
−
2
t − 1
dt =
3
2
2t
t
2
+1
dt −
1
t
2
+1
dt−
−2ln|t − 1| =
3
2
ln |t
2
+1|−arctg t − 2ln|t − 1| =
=
3
2
ln |tg
2
x
2
+1|−arctg
tg
x
2
− 2ln
tg
x
2
− 1
+ C =
= −3ln|cos
x
2
|−
x
2
− 2ln|tg
x
2
− 1| + C.
Пример 4.9
Вычислить интеграл
3
√
x − 2
−
4
√
16 − x
2
+
15
1+25x
2
dx =
=3
d(x − 2)
√
x − 2
− 4
dx
√
16 − x
2
+
15
5
d(5x)
1+(5x)
2
=
=6
√
x − 2 − 4arcsin
x
4
+3arctg(5x)+C.
17

Страницы