Конструирование и расчет элементов тонкостенных сосудов - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Равнодействующая усилий
mt
ds s
σ
в направлении, нормальном к
поверхности элемента, будет
m
mt
m
ds
ds sσ
ρ
.
Сумма этих равнодействующих уравновешивает силу, действую-
щую по нормали к поверхности элемента:
mt
tm mt tm
mt
ds ds
pds ds ds s ds s=σ +σ
ρ
ρ
,
откуда
mt
mt
p
s
σ
σ
+
=
ρρ
. (45)
Полученное уравнение (45) называют уравнением Лапласа. Этого
уравнения недостаточно для определения двух функций напряжений
и . Для получения второго уравнения отсечем коническим
нормальным к меридиану сечением часть оболочки (см. рис. 12, в) и
отбросим нижнюю часть. Действие отсеченных стенок заменим дей-
ствующими в меридиональном направлении упругими силами:
m
σ
t
σ
()
()
2
2
2sin sin
mt t
sp 0
σ
πρ ⋅ α − π ⋅ ρ α =
. (46)
Из уравнений (45) и (46) находим
2
t
m
p
ρ
σ=
; (47)
2
2
t
t
m
p
s
⎛⎞
t
ρ
ρ
σ= −
⎜
ρ
⎝⎠
⎟
. (48)
Для цилиндрического сосуда
t
r
ρ
=
(здесь − радиус сосуда),
. Следовательно,
r
m
ρ=∞
2
m
pr
s
σ=
; (49)
t
pr
σ=
. (50)
45
   Равнодействующая усилий σ m dst s в направлении, нормальном к
                                    ds
поверхности элемента, будет σm dst s m .
                                    ρm
  Сумма этих равнодействующих уравновешивает силу, действую-
щую по нормали к поверхности элемента:
                                      dsm           ds
                pdst dsm = σm dst s       + σt dsm s t ,
                                      ρm            ρt
откуда
                               σ m σt p
                                  +  = .                             (45)
                               ρ m ρt s
   Полученное уравнение (45) называют уравнением Лапласа. Этого
уравнения недостаточно для определения двух функций напряжений
σm и σ t . Для получения второго уравнения отсечем коническим
нормальным к меридиану сечением часть оболочки (см. рис. 12, в) и
отбросим нижнюю часть. Действие отсеченных стенок заменим дей-
ствующими в меридиональном направлении упругими силами:
                                          2               2
                   σ m 2πρt s ⋅ ( sinα ) − p π ⋅ ( ρt sinα ) = 0 .   (46)

  Из уравнений (45) и (46) находим
                                       pρ t
                               σm =         ;                        (47)
                                       2s
                               pρt   ⎛   ρt ⎞
                        σt =         ⎜2−    ⎟.                       (48)
                               2s    ⎝   ρm ⎠
   Для цилиндрического сосуда ρt = r (здесь r − радиус сосуда),
ρ m = ∞ . Следовательно,
                                      pr
                               σm =       ;                          (49)
                                      2s
                                       pr
                                 σt =       .                        (50)
                                       s


                                     45

Страницы