Основные понятия и методы теории формальных систем. Волохович А.В. - 15 стр.

                   Исчисление предикатов первого порядка

   Исчисление высказываний оказывается недостаточным для
обоснования, например, таких рассуждений:
   1. «Всякое положительное целое число есть натуральное число.
Число 5 есть положительное целое число. Следовательио, 5 есть
натуральное число».
   2. «Я видел портрет Мартынова. Мартынов – убийца Лермонтова.
Следовательно, я видел портрет убийцы Лермонтова».
   Объяснение лежит в том, что исчисление высказываний
ограничивается структурой предложений в терминах простых
высказываний, а приведенные рассуждения требуют анализа
структуры предложения в смысле связи субъекта и предиката, как
это делается в грамматике. Однако в логике слово «предикат»
употребляется в более общем смысле, чем в грамматике, где оно
выражает только то, что говорится о субъекте.
   Пусть задано некоторое множество V ={v 1 , v 2 , ..., v k , ….}, в
котором, v 1 , v 2 и т. д.– какие-то определенные предметы из этого
множества. Обозначим любой предмет из этого множества через х и
назовем х предметной переменной. Тогда высказывания об этих
предметах будем обозначать в виде Р(v 1 ), Q(v 1 , v 2 ) и т. д., причем
такие высказывания могут быть как истинными, так и ложными.
Например, если V ={1, 2, 3, …}, то высказывание «4 есть четное
число» является истинным, а «7 есть четное число» – ложным. Если
вместо конкретных чисел 4, 7 и т. д. поставим предметную
переменную, то получим предикат «х есть четное число»,
обозначаемый Р(х).
   Таким образом, предикат на множестве V есть логическая
функция, определенная на V, при фиксировании аргументов которой
она превращается в высказывание со значениями {И, Л}. В данном
случае имеем логическую функцию Р(х), определенную на
множестве V и принимающую два значения: И, Л. В общем случае
через Р(х 1 , х 2 , ..., х n ) обозначим n-местный предикат, обладающий
тем свойством, что, приписав значения переменным х 1 , х 2 , ..., х n из
соответствующих областей определения, получим высказывание со
значениями {И, Л}.
   Важную роль в излагаемом далее так называемом исчислении
предикатов (слова «первого порядка» для краткости пока будем
опускать) играют две связки ∀ и ∃ . Связка ∀ называется квантором
общности, а связка ∃ – квантором существования. Пусть Р(х)
означает, что х обладает свойством Р. Тогда договоримся через ∀ х
Р(х) обозначать утверждение: «Все х области V обладают свойством
Р» или «Для всякого предмета х области V выражение Р(х) истинно».



15