Элементы теории чисел и криптозащита. Воронков Б.Н - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4
Предисловие
Для современного этапа научно-технического развития характерен
стремительный рост потоков передаваемой информации. В связи с этим
возникает острая необходимость в совершенствовании традиционных теле-
коммуникационных систем и создании новых, более совершенных, способ-
ных увеличить быстродействие используемых технических устройств, по-
высить безопасность и обеспечить экономичность самого процесса обмена
информацией.
Информация превратилась в объект
, на защиту которого направлены
основные усилия и ресурсы многомиллионной армии математиков, про-
граммистов, радиофизиков и инженеров. Методы защиты информации ди-
намически развиваются, усложняются и постепенно оформляются в отдель-
ную отрасль информационно-комммуникационных технологий.
Криптографию и защиту сетей в настоящее время следует рассматри-
вать как вполне сформировавшиеся дисциплины, на основе которых
могут
разрабатываться или уже созданы реальные законченные приложения,
обеспечивающие сетевую защиту.
Математической основой большинства современных методов защиты
информации является алгебраическая теория чисел [1, 2, 4, 7, 9–14]. Поэто-
му в данном пособии приведены задания, компьютерные упражнения и по-
становки задач для выполнения курсовых работ, базирующиеся на теории
чисел, которые позволяют приобрести навыки, необходимые при проекти-
ровании
криптографических систем защиты информации [6, 7].
Упражнения, помеченные звездочкой, являются более трудоемкими в
сравнении с остальными.
1. Простые числа
1.1. Упражнения
1. Докажите, что 2
4n+2
+ 1= (2
2n+1
– 2
n+1
+ 1)( 2
2n+1
+ 2
n+1
+ 1). Выбирая
n = 4, покажите, что оба сомножителя могут быть составными числами. Ка-
ким образом представить эту формулу в особом, достаточно курьёзном,
случае факторизации выражения x
4
+ 4 y
4
= (x
2
– 2 xy + 2 y
2
)(x
2
+ 2 xy + 2 y
2
)?
Заметьте, что это доказывает, что все числа вида x
4
+ 4 являются составны-
ми для всех x > 1.
2. Проверьте, что 2
3n
∓ 1 = (2
n
∓ 1)(2
2n
± 2
n
+ 1). Может ли этот резуль-
тат использоваться для иного разложения на простые сомножители в при-
менении к случаю 1?
3. Докажите, что 2
mn
– 1= (2
m
– 1)(2
m(n-1)
+ 2
m(n-2)
+ ... + 1), а a
n
– 1 = (a –
– 1)( a
n–1
+ a
n–2
+ ... + 1). Предполагая, что n ≥ 2, a
≥ 2 и a
n
– 1 – простое
число. Докажите, что тогда a = 2. Покажите далее, что n – простое число
(например, рассматривая особый случай a = 2
m
). Простые числа вида 2
n
– 1,
для n простого, называются «простыми числами Мерсенна».

Страницы